UMLE6-106_F

51

плоскости и потому является известной. Задача сводится к нахождению другой проекции линии сечения.

Построения получаются простейшими, если поверхность, пересекаемая проецирующей плоскостью, является гранной.

ПРИМЕР 26. Построить линию пересечения трехгранной наклонной призмы с основанием АВС фронтально проецирующей плоскостью (рис.

82).

Решение. Плоскость пересечет ребра призмы АА , ВВи ССв точках 1, 2 и 3 соответственно. Фронтальные проекции этих точек совпадают

единив точки 11, 21 и 31, получим горизонтальную проекцию искомого сечения, а его фронтальная проекция сольется в отрезок прямой 1232.

Аналогично этому строят линию пересечения проецирующей плоскостью любых кривых линейчатых поверхностей.

ПРИМЕР 27. Построить линию пересечения гиперболического пара-

41

b1

e1 31

a1 1 11 21 d1 c1 1

Рис. 83

Решение. Строим ряд образующих с, d, e, горизонтальные проекции

1 …, являющиеся горизонтальными проекциями точек пересечения прямых a, d, e … с секущей плоскостью . Для нахождения их фронтальных проекций проводим линии связи. Соединив плавной кривой точки 12, 22, 32 …, получим фронтальную проекцию искомой линии сечения.

§ 23. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

А. Общий метод

Нахождение точек пересечения любой поверхности прямой линией про-

изводится в следующем порядке. 1) Заключают прямую во вспомогательную плоскость (обычно в проецирующую). 2) Находят линию сечения вспомогательной плоскости с данной поверхностью (см. § 22, примеры 26-28). 3) Находят точки пересечения полученной линии сечения с данной прямой. Это и будут искомые точки пересечения прямой с данной поверхностью.

56

щих. В данном случае видимая и невидимая части проекции кривой сливаются в один отрезок 1151.

Точка М2 = m2 221232 и точка N2 = m2 425232 являются фронтальными проекциями искомых точек M и N – входа и выхода прямой m. Точка М2 – невидимая, так как она принадлежит невидимой дуге кривой, а N2, принадлежащая видимой дуге, является видимой. Горизонтальные проекции точек M и N

Рис. 88

Решение. Заданную прямую АВ заключаем во вспомогательную плоскость, например, в горизонтально проецирующую . Эта плоскость пересечет-

щую ее натуральную величину. Диаметр этой окружности d = 1424 = 1121 = 12,

57

а центр ее совпадает с новой проекцией О4 – центра сферы на 4. Далее строим проекцию А4В4 отрезка АВ заданной прямой*. Точка М4 = А4В4 l4 и точка N4 = А4В4 l4 являются проекциями на 4 искомых точек М и N – входа и выхода прямой АВ. Обратным переносом находим проекции этих точек на 1 (М1 и N1) и на 2 (М2 и N2).

Б. Применение вспомогательного проецирования

кнахождению точек пересечения прямой с поверхностью

Сущность метода вспомогательного проецирования заключается в том, что для упрощения построений изменяют направление проецирования или его вид (вместо ортогонального используют центральное или параллельное косо-

угольное проецирование), а иногда вводят дополнительную плоскость проекций.

ПРИМЕР 33. Найти точки пересечения прямой m с поверхностью конуса

(рис. 89).

S2

N'

1

B'

1

Рис. 89

* Строить на 4 проекцию очерка сферы нет необходимости.

58

Решение. Конус и прямая в данном случае расположены так, что сечение конуса любой проецирующей плоскостью, проведенной через заданную прямую, будет проецироваться на одну из плоскостей проекций в эллипс. Построение эллипса, как известно, вызывает некоторые затруднения.

Применим центральное проецирование (как вспомогательное). Возьмем за центр вспомогательного проецирования вершину конуса точку S, а за дополнительную плоскость проекций – плоскость его основания, которая в данном случае перпендикулярна плоскости 2. При таком проецировании каждая образующая конуса спроецируется в точку, а вся боковая поверхность конуса – в линию l, контур основания конуса. Для проецирования из точки S

l1, а затем при помощи линий связи – точки М2′ и N2′. Точки М′ и N′ являются центральными проекциями на плоскость искомых точек пересечения прямой m с конусом. Проводим горизонтальные (М1′S1 и N1′S1) и фронтальные (М2′S2 и N2′S2) проекции образующих М′S и N′S конуса. Найдем точки М1 = m1

M1′S1 и N1 = m1 N1′S1, а также М2 = m2 M2′S2 и N2 = m2 N2′S2. Заметим, что точки М1 и М2, а также N1 и N2 должны попарно лежать на соответствую-

щих линиях связи. Точки M и N – искомые точки пересечения прямой m с конусом.

59

Г Л А В А V

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Две поверхности пересекаются между собой по кривой или ломаной линии. Эту линию часто называют линией перехода. Для определения линии перехода находят точки, принадлежащие одновременно обеим поверхностям. Ес-

ли хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой или многогранником, то линию перехода можно построить, найдя точки встречи ребер или образующих этой поверхности со второй поверхностью (§ 23), и соединить их в надлежащем порядке.

Другим способом нахождения линии перехода является применение вспомогательных поверхностей-посредников, которыми пересекают обе заданные поверхности. Чаще всего в качестве поверхностей-посредников при-

меняют плоскости, а также сферы.

Вспомогательные плоскости и сферы следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с заданными поверхностями получались удобными и простыми для построения (по возможности прямыми или окружностями).

§ 24. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ПЛОСКОСТЕЙ-ПОСРЕДНИКОВ

На рис. 90 показаны две поверхности F и S, пересеченные плоскостя-

пересечения этих линий принадлежат искомой линии пересечения данных

60

поверхностей. Аналогично находят точки М и Ν, полученные с помощью плоскости . Поверхностей-посредников должно быть взято столько, сколько необходимо для того, чтобы полностью построить требуемую линию пересечения данных поверхностей. В случае построения линии пересечения поверхностей многогранников в качестве плоскостей-посредников удобно пользоваться проецирующими плоскостями.

Рис. 90

Для построения линий пересечения поверхностей конуса, пирамиды, цилиндра и призмы бывает целесообразно брать такие плоскости-посредники,

которые пересекают эти поверхности по образующим или ребрам. Если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей является сферой, удобно в качестве посредников применять плоскости уровня, так как сечения сферы в этом случае проецируются на одну из плоскостей проекций в виде окружностей, а на другую – в виде отрезков прямой. В зависимости от взаимного расположения поверхностей, линий пересечения может быть одна (в случае врезания) или две

(в случае проницания).

1. Пересечение поверхностей конуса и пирамиды. На рис. 91 показаны конус и пирамида, основания которых лежат в одной из плоскостей проекций

( 1). В подобных случаях для построения линии пересечения поверхностей удобно воспользоваться плоскостями-посредниками, которые одновременно проходят через вершины (S и T) обеих поверхностей и рассекают эти поверхности по прямым образующим. Такие плоскости часто называют «качающи-

мися», так как они образуют пучок плоскостей с осью ST.

Вначале проведем прямую ST и найдем точку К пересечения ее с плоскостью, в которой лежат основания конуса и пирамиды. Через прямую ST прове-