UMLE6-106_F

123

* См. ГОСТ 2.317–69.

Построение аксонометрии окружности, заданной в плоскости хОу или ей параллельной, выполняется наиболее просто с помощью косоугольной горизонтальной изометрической проекции, так как в этом случае окружность проецируется на плоскость без искажения.

ПРИМЕР 56. Построить прямоугольную диметрию конуса (рис. 130).

Рис. 130

Решение. Отнесем конус к прямоугольной системе координат Охуz (рис. 130а), построим аксонометрические оси (рис. 130б) и вторичную горизонтальную проекцию конуса. Построение вторичной проекции окружности основания конуса выполним, как указано в предыдущем примере. Вторичную проекцию S1вершины конуса S построим по ее координатам, для чего на оси х′ откладываем отрезок О′Sx = ОSх, а на оси у′ – отрезок О′Sу = 0,5ОSу. Через точки Sх и Sупроведем прямые, соответственно параллельные осям у′ и х′, и в пересечении этих прямых получим искомую точку S1 . Проводя из S1касательные к ранее построенному эллипсу, получим вторичную проекцию конуса. Для построения его аксонометрической проекции через S1проведем прямую параллельно z′ и отложим на ней отрезок S1 S= SхS2, после чего из точки S′ проведем касательные к аксонометрической проекции основания конуса. Эти касательные являются очерковыми образующими конуса.

124

ПРИМЕР 57. В прямоугольной изометрии дана наклонная призма АВСDEF и прямая КL (рис. 131). Найти точки М и N пересечения прямой с поверхностью заданной призмы.

z'

F'

1

Рис. 131

Решение. Для нахождения аксонометрических проекций М′ и N′ искомых точек М и N произведем известные построения: 1) заключим прямую КL во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость

данной прямой с построенной линией 123 (на аксонометрической проекции – это точки Ми N , а на вторичной горизонтальной проекции – М1и

N1 )*.

* В тех случаях, когда аксонометрическая проекция не сопровождается комплексным чертежом (эпюром), аксонометрические оси, проекции точек и линий часто обозначают так же, как в пространстве, т.е. без штриха.

127

Аксонометрическую проекцию этой точки можно найти, как и в ортогональных проекциях, двумя методами: методом вспомогательных точек

или методом ложной тени.

Найдем аксонометрическую проекцию тени отрезка АВ, падающей на две координатные плоскости (рис. 133б и в). Проекция А0′ тени точки А попала на плоскость аксонометрических координат х′О′у′, а проекция В0′ тени точки В – на плоскость у′О′z′.

Отыскание точки излома проекции тени заданного отрезка произведем обоими указанными методами.

1) На отрезке АВ возьмем вспомогательную точку С и найдем ее тень (рис. 133б). Проекция С0′ тени этой точки попала на плоскость аксонометрических координат у′О′z′. Соединив точки В0′ и С0′, лежащие на одной плоскости, найдем точку Ку = В0′С0′ y′. Полученную точку излома Ку соединим с точкой А0′. Ломанная линия А0′Ку В0′ будет искомой аксонометрической проекцией тени отрезка АВ.

2) Проекция А0′ тени точки А попала на плоскость х′О′у′ (рис. 133в). Найдем проекцию В0 «ложной» тени точки В на эту же плоскость, построенную в предположении, что координатная плоскость уОz – прозрачная. Соединив точки А0′ и В0 , найдем проекции тени отрезка АВ на плоскости х′О′у′ и точки излома тени Ку = А0′ В0 y′. Так как в действительности плоскость уОz непрозрачна, то проекция тени от точки В падает на плоскость у′О′z′ в точку В0′. Соединив точку излома Ку с точкой В0′, получим искомую проекцию А0′Ку В0′ тени от отрезка АВ.

3. Тени от точек, падающие на плоскости общего положения и по-

верхности. Для решения этих задач в аксонометрии применяют те же два способа, что и в ортогональных проекциях: способ лучевых сечений и спо-

соб обратных лучей.

а) Способ лучевых сечений. ПРИМЕР 58. Найти в аксонометрии тень

помощью линий связи. 4) Находим точку М0′ = m′ 1′2′. Эта точка и является искомой аксонометрической проекцией тени точки на треугольнике

АВС.

б) Способ обратных лучей. ПРИМЕР 59. Построить в аксонометрии собственную и падающую тени конуса, а также найти на его поверхности тень точки М (рис. 135).

Рис. 135

Решение. 1) Построим аксонометрические проекции Т0′ и М 0 теней

от вершины конуса Т и заданной точки М на координатную плоскость хОу. Через точку Т0′ проведем касательные Т0′А′ и Т0′В′ к проекции основания конуса и получим аксонометрическую проекцию Т0′А′l′В′Т0′ падающей тени конуса. Прямая А′Т′ является видимой границей проекции собственной тени на боковой поверхности конуса. Так как точка М 0 оказалась в конту-

ре падающей тени конуса, то она является проекцией «ложной» тени точки М, а истинная тень М0′ упадет на поверхность конуса. 2) Проведем прямую Т0′ М 0 и найдем точку С′ ее пересечения с l′. Отрезок Т0′С′ является проек-

цией тени некоторой образующей СТ. 3) Так как проекция М 0 ложной тени точки М лежит на проекции С′Т0′ тени образующей СТ, то для нахожде-

129

ния аксонометрической проекции М0′ действительной тени точки М нужно из точки М 0 провести проекцию обратного луча М 0 М′ до пересечения с С′Т′. Точка М0′ = М 0 М′ С′Т′ и есть искомая.

4. Тени лестницы. ПРИМЕР 60. На рис. 136 показана изометрическая проекция прилегающей к стене здания лестницы с боковыми стенками, а также направления изометрической проекции светового луча s′ и его вторичной горизонтальной проекции s1′. Требуется построить проекцию теней этой лестницы.

D'

C'

Рис. 136

Решение. Контур тени, падающей от левой стенки на ступени лестницы, площадку и стену здания, определяется тенью от ломаной линии АВСD*. Проекция А′10′ тени от части ребра АВ, падающая на проступь второй ступени, располагается параллельно s1′, а проекция 10′В0′ тени от остальной части того же ребра упадет на подступенок третьей ступени, при этом 10′В0′ А′В′. Точка В0′ найдена как проекция точки пересечения светового луча, проведенного через точку В, с подсупенком (В′В0′ s′). Тень от ребра ВС начинается от точки В0 (на рис. 136 точка В0′) проходит по тому же подсупенку. Для нахождения точки 20′, в которой проекция указанной тени пересечет проекцию переднего ребра третьей ступени, продлим мысленно вверх плоскость подступенка той же ступени и найдем проекцию Е′

130

точки пересечения ребра ВС с этой плоскостью. Искомая точка 20′ лежит на пересечении прямой В0′Е′ с проекцией названного ребра ступени.

Чтобы построить проекцию тени от ВС на проступь третьей ступени,

* На рис. 136 показана аксонометрическая проекция А′В′С′D′ этой линии.

найдем проекцию F′ воображаемой точки пересечения продолжения ВС с продолжением плоскости этой проступи. Проведя прямую F′20′ и продолжив ее до пересечения в точке 30′ с задним ребром той же проступи, получим проекцию 20′30′ искомой тени*. На четвертом подступенке проекция тени 30′40′ В0′Е′.

Четвертая проступь сливается с плоскостью верхней площадки лестницы. На эту площадку падают тени от участков ребер ВС и СD левой стенки. Точкой перелома указанной тени является тень С0 от точки С. На рис. 136 показано построение проекции С0′ этой тени, основанное на том,

что 40′С0′ 20′30′, а С′С0′ s′.

Через точку С0′ проходит проекция тени от ребра CD, при этом параллельная ему. Мысленно продлим плоскость стены до пересечения с этой проекцией тени и соединим полученную точку пересечения с точкой D′. Отрезок D′5′ – проекция тени от того же ребра, падающей на стенку здания. Построение падающей тени от правой стенки лестницы и собственных теней последней понятно из рисунка и не требует пояснений.

* Отрезок 20′30′ проекции тени легко построить и другим способом: на участке СЕ ребра ВС взять произвольную точку, найти ее тень на проступи третьей ступени (или мнимую тень на продолжении плоскости этой проступи), через найденную тень и точку 20 провести прямую до пересечения в точке 30′ с задним ребром той же ступени.

131

Г Л А В А IX

ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРОЕКЦИИ

§ 39. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Перспективные проекции* строятся по методу центрального проецирования. Эти проекции обладают наибольшей наглядностью, но самой плохой измеримостью.

Перспективу можно строить на различных поверхностях, например, на плоскости (линейная перспектива), на внутренней поверхности цилиндра (панорамная перспектива), на внутренней поверхности шара, параболоида вращения и др. (купольная перспектива). Ниже рассматривается только линейная перспектива как имеющая наиболее широкое распростра-

137)**, одна из которых ( ) – горизонтальная, и выберем точку зрения

* Перспективные проекции часто сокращенно называют «перспективой».

сительно нее ориентируют проецируемый предмет, а плоскость называют картинной потому, что на ней строят изображение этого предмета.

132

Рис. 137

кой картины. Спроецировав таким же образом точку Р на плоскость ,

кость пересечется с картиной по прямой h, называемой линией горизонта. Окружность, описанная на картине из точки Р как из центра радиусом

SP, носит название дистанционной окружности. Точки D и E пересечения этой окружности с линией горизонта h называют дистанционными точками (или точками отдаления).

Соединим прямыми точку S с точками D и E. Так как SP = PD = PE, то

SDP = SEP = 45 .