UMLE6-106_F

11

лучается комплексный чертеж, или эпюр. На рис. 8б показан эпюр точки А.

При указанном совмещении проекции А1 и А2 окажутся на одном перпендикуляре к оси x, причем расстояние А1Аx от горизонтальной проекции точки до оси x равно расстоянию точки А от плоскости 2, и расстояние А2Аx от фронтальной проекции точки А до оси x равно расстоянию точки А от горизонтальной плоскости 1. Прямые линии, соединяющие обе проекции одной точки на эпюре, называют линиями связи. Линии связи перпендикулярны оси проекций.

Построение изображений с помощью ортогональных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости с последующим совмещением этих плоскостей в одну часто называют мето-

дом Монжа*.

Если плоскости проекций 1 и 2 переместить в пространстве параллельно их прежнему положению, то на эпюре ось проекций также переместится параллельно самой себе и изменятся длины линий связи, но относительное расположение проекций различных точек на каждой плоскости проекций останется прежним. Это дает основание при построении эпюра проводить оси проекций в любом месте чертежа, лишь бы они были параллельны соответствующим направлениям. Иногда оси проекций на эпюре совсем не показывают. Такой чертеж называют безосным.

§ 4. ПРОЕКЦИИ ТОЧЕК, ЛЕЖАЩИХ В РАЗНЫХ ЧЕТВЕРТЯХ ПРОСТРАНСТВА

Расположение проекций точки относительно оси х на эпюре зависит от того, в какой четверти находится точка. На рис. 8б показаны проекции точки А, находящейся в I четверти: ее горизонтальная проекция – под осью, фронтальная проекция – над осью. На рис. 9б показаны проекции точек, находящихся в остальных четвертях. Точка В – во II четверти, обе ее проекции – над осью. Точка С – в III четверти, ее горизонтальная проекция – над осью, а фронтальная – под осью. Точка D – в IV четверти, обе ее проекции под осью.

Точки E и F лежат в плоскостях проекций. Горизонтальная проекция E1 точки E совпадает с самой точкой, лежащей в плос-

12

кости 1, а фронтальная проекция Е2 этой точки располагается на оси. Горизонтальная проекция F1 точки F, лежащей в плоскости 2, располагается на оси, а фронтальная F2 совпадает с самой

точкой.

* Гаспар Монж (1746–1818) – французский геометр, основатель начертательной геометрии.

а) б)

Рис. 9

Для более ясного представления о положении точки в пространстве иногда используют три взаимно перпендикулярные плоскости проекций:

1, 2, 3 (рис. 10а), пересекающиеся по трем взаимно перпендикулярным осям: х, у, z. Плоскость 3 называют профильной плоскостью проекций. Расстояния точки А до плоскостей проекций называют ее координатами: хА

– расстояние до плоскости 3 (абсцисса), уА – расстояние до плоскости 2 (ордината) и zА – расстояние до плоскости 1 (аппликата). На эти три плоскости проекций строят три соответствующие проекции точки А: А1, А2, и

А3.

горизонтальной проекцией h1 на эпюре и осью х определяет угол наклона прямой к 2.

16

параллельные оси х, а проекция на 3 – точка р3.

x

g1

Рис. 17

17

ции этой точки находятся на одноименных проекциях данной прямой (см.

§ 2, п. 2).

На рис. 19 даны проекции отрезка прямой m и точек А, В, С, D. Из этих точек только одна (D) принадлежит прямой m. Проекции точки С совпадают с разноименными проекциями прямой (С1 m2, а С2 m1), а потому точка С не лежит на прямой m. Точка С находится в III четверти, а отрезок m – в I. Совпадение С1 с m2 и С2 с m1 является случайным.

§ 6. ДВЕ ПРЯМЫЕ

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаю-

щимися и скрещивающимися.

проекции параллельны (а1 b1 и а2 b2)*.

Если две прямые пересекаются, то их одноименные проекции тоже пересекаются и точки пересечения этих проекций лежат на одной линии связи*. На рис. 21 прямые с и d пересекаются, так как и горизонтальные проекции с1, d1 и фронтальные – с2, d2 этих прямых пересекаются и точки К1, К2 их пересечения лежат на одной линии связи.

Если для двух прямых не выполняется ни условие параллельности, ни условие пересечения, то они скрещиваются, например, прямые m и n, е и l

(рис. 22).

ПРИМЕР 1. Провести произвольную горизонталь h, пересекающую две скрещивающиеся прямые а и b (рис. 23).

Решение. Построение осуществляется в следующем порядке: проводим фронтальную проекцию горизонтали h2 х в произвольном месте чертежа так, чтобы она пересекла а2 и b2. Точки 12 = h2 b2 и 22 = h2 а2 –

См. § 2, п. 3 и 4.

19

Рис. 22

фронтальные проекции точек пересечения искомой горизонтали с заданными прямыми. Через 12 и 22 проводим линии связи до пересечения с b1 и а1 в точках 11 и 21. Прямая 1121, соединяющая эти точки, будет горизонтальной проекцией h1 искомой горизонтали.

ПРИМЕР 2. Найти проекции перпендикуляра, опущенного из точки С на горизонталь АВ (рис. 24).

Решение. Горизонтальная проекция С1D1 искомого перпендикуляра составит прямой угол с горизонтальной проекцией А1В1 заданной прямой (§ 2, п. 6). Фронтальную проекцию D2 точки D найдем на А2В2 и соединим ее с С2. Искомыми проекциями перпендикуляра будут С1D1 и C2D2.