UMLE6-106_F

61

дем по две плоскости, касательные к одной и второй заданным поверхностям. Каждую пару таких плоскостей обычно называют «районными» плоскостями*. Горизонтальные следы этих четырех плоскостей пройдут через точку К1. Так как следы К1А1 и К1С1 плоскостей, касательных к пирамиде, проходят внутри угла, образованного следами К1D1 и К1Е1 плоскостей, касательных к конусу, то пирамида проницает конус и потому получается две линии сече-

ния: линия входа и линия выхода пирамиды.

S2

T2

T1

S1

Рис. 91

62

* Наименование «районные плоскости» связано с тем, что они ограничивают «район» пространства, в котором расположена данная поверхность.

Плоскость STKA проходит через ребро АТ пирамиды и пересекает конус по образующим FS и HS. Построим горизонтальные и фронтальные проекции

этих образующих и найдем точки 11 = A1T1 F1S1 и 12 = А2Т2 F2S2, а также точки 21 = А1Т1 H1S1 и 22 = А2Т2 H2S2. В точках 1 и 2 ребро АТ пересекается с конусом. Найденные проекции этих точек 11 и 12, а также 21 и 22, должны лежать на соответствующих линиях связи. Аналогично с помощью плоскости STKC находим точки 3 и 4 – пересечения с конусом ребра СТ пирамиды. Далее проведем плоскость STKB. Она пересечет поверхность пирамиды по прямым

ВТ и LT, а конус – по прямым QS и RS. Точки 51 = B1T1 R1S1, 61 = B1T1 Q1S1, 71 = L1T1 R1S1 и 81 = L1T1 Q1S1 являются горизонтальными проекциями точек 5, 6, 7 и 8, принадлежащих искомой линии перехода. Если для построения этой линии необходимы дополнительные точки, то вспомогательные плоско- сти-посредники следует проводить между плоскостями STKA и STKC.

Соединять полученные точки нужно отдельно на каждой грани, при этом следует иметь в виду, что на грани, участвующей в пересечении, должен получиться либо полный эллипс, либо одна его дуга, либо две дуги одного и того же эллипса (или другой кривой второго порядка), обращенные вогнутостью друг к другу. На рис. 91 на каждой боковой грани пирамиды получено по две дуги эллипсов. Аналогично можно найти линии пересечения поверхностей двух конусов или двух пирамид.

2. Пересечение цилиндрической поверхности с конусом. Если цилинд-

рическая и коническая поверхности расположены так, что они пересекаются одной из плоскостей проекций (или любой проецирующей плоскостью), то для построения линии взаимного пересечения этих поверхностей наиболее удобными плоскостями-посредниками будут плоскости, проходящие через верши-

ну конуса параллельно образующим цилиндра. Эти плоскости пересекут обе поверхности по их прямым образующим. Для построения таких «качающихся» плоскостей через вершину конуса проводят прямую, параллельную образующим цилиндра, а через нее – пучок плоскостей, пересекающих обе заданные поверхности.

На рис. 92 изображена цилиндрическая поверхность и конус, пересечен-

посредники должны проходить через прямую а SK. Районными плоскостя-

64

Плоскость SKA пересекается с цилиндрической поверхностью по образующим ЕЕ′ и FF′, горизонтальные проекции которых видимы, а фронтальные невидимы. Находим проекции точек 1 = ЕЕ′ AS и 2 = FF′ AS и определяем их видимость и видимость проекций образующей конуса AS на различных ее участках. Аналогично находятся и проекции точек 3 и 4, в которых образующая конуса BS пересекает цилиндрическую поверхность.

Для получения дополнительных точек линии пересечения следует провести плоскости расположенные между районами плоскостями SKA и SKB. На рис. 92 показана одна такая плоскость SKC, пересекающая конус по образующим CS и DS, а цилиндрическую поверхность – по образующим ММ′ и NN′. Точки 5, 6, 7 и 8 их взаимного пересечения принадлежат искомой линии. Аналогично находят линию перехода и в тех случаях, когда вместо цилиндрической поверхности задана призматическая или вместо конуса – поверхность пирамиды.

3. Пересечение двух цилиндрических поверхностей. Построение линии перехода двух произвольных цилиндрических поверхностей (или поверхностей призм), пересекающих одну из плоскостей проекций (или любую проецирующую плоскость), значительно упрощается, если плоско-

сти-посредники располагают параллельно образующим (или ребрам) обеих за-

данных поверхностей одновременно. Тогда любая из таких плоскостей будет рассекать каждую заданную поверхность по ее образующим (или по прямым, параллельным ребрам). На рис. 93 показано построение линии пересечения поверхностей цилиндра и призмы.

Через произвольную точку М в пространстве проведем прямые a и b, соответственно параллельные образующим цилиндрической поверхности и реб-

рической поверхности и и ′ – для призмы), видим, что в данном случае ни один «район» не располагается в другом (следы каждой поры районных плоскостей чередуются), следовательно, поверхности врезаются одна в другую и потому имеется только одна линия пересечения.

Плоскость касается цилиндрической поверхности по образующей DD′ и пересекает поверхность призмы по прямым ЕЕ′ и FF′. Строим горизонтальные и фронтальные проекции этих прямых и находим точки 11 = D1D1′ E1E1′

и 12 = D2D2′ E2E2′, а также точки 21 = D1′D1 F1F1′ и 22 = D2′D2 F2F2′. Плоскость проходит через ребро АА′ призмы и пересекает цилиндрическую по-

верхность по образующим РР′ и NN′. Точка 3 = АА РР′ и точка 4 = АА′ NN′ являются точками пересечения ребра АА′ с поверхностью цилиндра. Их проекции показаны на рисунке. Для получения дополнительных точек линии пересечения следует проводить плоскости-посредники между плоскостями и

65

. Эта зона на рис. 93 выделена. В данном случае линия перехода состоит из двух дуг эллипсов: одной – на грани АА′В′В, и второй – на грани АА′С′С. Дуги

Рис. 93

пересекаются в точках 3 и 4 на ребре АА′.

4. Пересечение поверхностей конуса и шара. На рис. 94 показаны конус вращения и сфера. Первую плоскость-посредник проведем через ось конуса, параллельно 2. Так как в данном случае плоскость пройдет и через центр О сферы, то она пересечет и конус, и сферу по их очеркам. Эти очерки пересекутся в точках 12 и 22, принадлежащих фронтальной проекции искомой линии. Горизонтальные проекции 11 и 21 тех же точек находятся на 1. Затем проводим плоскость 1 через центр О сферы. Плоскость пересечется с конусом по окружности радиуса АВ, а со сферой – по окружности радиуса ОС, являющейся очерком сферы. Проекции указанных окружностей на 1 пересекутся в точках 31 и 41, которые принадлежат горизонтальной проекции искомой линии и отделяют видимую часть этой проекции от невидимой. Проекции 32 и 42 на 2 тех же точек 3 и 4 сливаются в одну точку на следе 2.

66

Для построения добавочных точек линии перехода следует провести плоскости-посредники параллельно 1 между точками 1 и 2. На рис. 94 проведена плоскость и построены проекции точек 5 и 6. Все найденные проекции

Рис. 94

точек, принадлежащих линии перехода, соединяем в следующем порядке: на

§ 25. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР-ПОСРЕДНИКОВ

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пресекаются между собой и параллельны одной из плоскостей проекций. Известно, что если сфера имеет центр на оси заданной поверхности вращения и пересе-

67

кает эту поверхность, то линия пересечения будет окружностью. Если к тому же ось вращения заданной поверхности параллельна одной из плоскостей проекций, то указанная окружность проецируется на эту плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный проекции оси вращения на ту же плоскость. На рис. 95 показано построение линии пересечения параболоида вращения с конусом вращения.

Рис. 95

Для нахождения искомой линии вначале следует провести плоскостьпосредник через оси заданных поверхностей и найти линии ее пересечения с параболоидом и конусом. На плоскости 2 эти линии будут очерками заданных поверхностей. Точки 12, 22, 32, 42 пересечения очерковых линий рассматриваемых поверхностей принадлежат искомой линии перехода. Для нахождения других точек линии сечения опишем из точки О сферу таким радиусом, чтобы она пересекла заданные поверхности. На плоскость

2 эта сфера спроецируется в окружность, пересекающую очерки параболоида в точках А2, В2, С2 и D2 и конуса в точках Е2, F2, G2 и H2. Отрезки А2В2 и С2D2 являются проекциями на 2 окружностей, по которым проведенная сфера пересекается с параболоидом. Отрезки Е2F2 и G2H2 – проек-

68

ции на 2 окружностей, по которым та же сфера пересекается с конусом. Точка 52 = С2D2 Е2F2 и точка 62 = С2D2 G2H2 принадлежат проекции на 2 искомых линий перехода (в данном случае их две). Число сферпосредников следует брать таким, чтобы полученных точек искомой линии

перехода было достаточно для ее построения.

Найденные точки 12, 52, 22 и 32, 62, 42 нужно соединить плавными кривыми, которые и будут видимыми участками фронтальных проекций искомых линий перехода. Границей видимости этих линий на 2 является очерковая линия заданного параболоида. Невидимые участки проекции линии перехода совпадают с видимыми и потому невидимые точки 52и 62 на рис. 95 не показаны.

Если требуется построить и горизонтальную проекцию, то на 1 проводят окружности, в которые проецируются линии пересечения параболоида с каждой сферой-посредником, и на этих окружностях находят точки 51, 51 и 61, 61 . Точки 11, 21 и 31, 41 находятся на следе 1. Соединение полученных горизонтальных проекций точек линий перехода должно быть

произведено в следующем порядке: 11, 51, 21, 51 , 11 и 31, 61, 41, 61 , 31. Границами видимости этих кривых на пл. 1 будут очерковые образующие конуса.

§ 26. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Пересечение цилиндрической поверхности с коноидом. Пусть ци-

линдрическая поверхность задана направляющей l, лежащей в 1, и образующей m, а коноид – направляющими: кривой а, прямой b и плоскостью параллелизма (рис. 96).

Выберем за направление вспомогательного проецирования направление образующей m, а за дополнительную плоскость проекций – плоскость 1. Тогда каждая образующая цилиндрической поверхности спроецируется

то проекции А1, В1, С1 … точек А, В, С … образующих коноида АЕ, BF, CH … при вспомогательном проецировании останутся неизменными, а проекции точек Е, F, Н …, принадлежащих кривой направляющей а, займут новые положения и должны быть найдены.

При выбранном направлении вспомогательного проецирования точка Е спроецируется на 1 в точку Е1 , тогда вспомогательной проекцией образующей АЕ будет А1Е1 . Аналогично строятся вспомогательные проекции В1,F1 , С1Н1… образующих ВF, СН …

Чтобы найти точки 1, 2, 3 … пересечения указанных образующих коноида с цилиндрической поверхностью, отметим точки 11′ = А1Е1′ l1; 21′ = А1Е1′

69

l1; 31′ = В1F1′ l1; 41′ = В1F1 l1; 51′ = С1Н1′ l1; 61′ = С1Н1′ l1 и т.д. Все

эти точки 11′, 21′, 31′ … являются вспомогательными проекциями на 1 иско-

E'

1

Рис. 96

мых точек (1, 2, 3 …). Через точки 11′, 21′, 31′ … проведем горизонтальные проекции образующих цилиндра и отметим точки 11, 21, 31 … их пересечения с горизонтальными проекциями А1Е1, В1F1, С1Н1 … соответствующих образующих коноида. Точки 11, 21, 31 … являются горизонтальными проекциями искомых точек 1, 2, 3 …, а их фронтальные проекции 12, 22, 32 … находятся в точках пересечения фронтальных проекций соответствующих образующих цилиндра и коноида. Соединив плавной кривой точки 11, 21, 41 … и 12, 22, 42 …, получим горизонтальную и фронтальную проекции искомой линии перехода.

70

Г Л А В А VI

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ИКАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

§27. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для практического изготовления различных поверхностей из листового материала, а также для определения площадей поверхностей используют их

развертки. Разверткой поверхности называют плоскую фигуру, полученную путем совмещения (без разрывов и складок) заданной поверхности с плоско-

стью. Построить точную развертку можно не всех поверхностей. Разверты-

вающимися являются все гранные поверхности и те кривые линейчатые поверхности, у которых смежные прямолинейные образующие либо параллельным между собой (цилиндрические поверхности), либо пересекаются (кони-

ческие поверхности и поверхности с ребром возврата). Все остальные поверхности, как линейчатые, так и нелинейчатые, являются неразвертывающимися.

При необходимости для неразвертывающихся поверхностей строят их

приближенные развертки.

1. Развертки поверхностей пирамиды и конуса. Построим развертку пирамиды с основанием АВС и вершиной S (рис. 97). Для этого нужно знать натуральные величины всех ее граней. В данном случае основание АВС 1 и потому проецируется на 1 без искажения, а для определения величин боковых граней требуется найти величины ребер АS, ВS и СS любым способом. На рис. 97а это выполнено с помощью вращений вокруг оси i 1 и проходящей через вершину S. Имея величины всех ребер пирамиды, в любом месте чертежа строят ее грани в виде прилегающих друг к другу треугольников (рис. 97б).

Нанесем на развертку пирамиды две точки, одна из которых М лежит на ребре AS, а другая N – на грани BCS. Определив натуральную величину ребра AS = A2′S2 (рис. 97а), перенесем на нее точку М, для чего через М2 проведем прямую, перпендикулярную линиям связи, до пересечения с А2′S2 в точке М2′. Полученный отрезок S2М2′ отложим от точки S на ребре AS развертки (SM = = S2M2′). Точка М – искомая (рис. 97б).

Для нанесения на развертку точки N проведем через нее образующую SD (рис. 97а), найдем натуральную величину S2D2′ этой образующей и перенесем на нее точку N (N2′). Построим на грани BCS развертки образующую SD. Для этого на стороне ВС отложим отрезок BD = B1D1 и соединим точки S и D прямой (рис. 97б). На прямой SD от точки S отложим отрезок SN = S2N2′. Точка N

– искомая.

Для построения развертки конуса в него вписывают пирамиду и развертывают ее поверхность. Получающуюся при этом ломаную линию, ограничивающую основания боковых граней пирамиды, заменяют плавной кривой. Та-