UMLE6-106_F

134

вторую – бесконечно удаленную точку А . Так как А , то ее перспектива А′ А. Чтобы построить перспективу А′бесконечно удаленной точки А прямой а, проведем проецирующий луч SA . Так как А лежит в бесконечности, то SA а, а следовательно, SA и потому луч SA пересекает картину в точке А′ , лежащей на линии горизонта h.

Перспектива бесконечно удаленной точки прямой называется точкой схода этой прямой. Таким образом, найденная перспектива А′точки А является точкой схода прямой а, а отрезок А′А′– перспективой полупрямой АА .

Для построения точки схода любой прямой, находящейся в пространстве, нужно через точку зрения S провести луч, параллельный этой прямой, и найти точку его пересечения с картиной.

§ 41. ПЕРСПЕКТИВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

На том же рис. 138 проведем еще две прямые b и c, при этом b c a. Для построения перспективы указанных прямых продолжим каждую из них до пересечения с картиной и найдем перспективы бесконечно удаленных точек В и С этих прямых (см. § 40).

Прямые b и с пересекаются с картиной соответственно в точках В′ и С′. Луч, проходящий через S параллельно прямой а, одновременно параллелен прямым b и с и потому точки схода этих трех прямых сливаются в одну точку А′ . Следовательно, взаимно параллельные прямые изображаются в перспективе в виде отрезков, пересекающихся в их общей точке схода. В данном случае этими отрезками являются А′А′ , В′А′ , С′А′ . На рис. 138, кроме того, показан отрезок С1′А′ , являющийся перспективой основания с1 прямой с. Таким образом, если прямые параллельны или лежат в ней, то их общая точка схода находится на линии горизонта h. Если прямые а, b и с перпендикулярны картине , то их перспективы сходятся в главной точке Р картины, следовательно, главная точка является точкой схода всех прямых, перпендикулярных картинной плоскости. Дистанционные точки D и Е являются точками схода горизонтальных прямых, наклоненных к картине под углом 45 .

Если прямые не параллельны предметной плоскости, то их точки схода не лежат на линии горизонта. Точки схода восходящих прямых* находятся выше линии горизонта. Точки схода нисходящих прямых – ниже линии горизонта.

* Восходящими называются прямые, расстояния точек которых от пл. увеличиваются с удалением этих точек от пл. , а нисходящими – прямые, у которых указанные расстояния уменьшаются.

135

Если взаимно параллельные прямые к тому же параллельны картинной плоскости , то они изображаются на этой плоскости параллельными прямыми, так как плоскости, проецирующие их на , пересекаются с последней по параллельным прямым.

§ 42. ПЕРСПЕКТИВНЫЙ ЭПЮР

Если плоскость картины оставить неподвижной, а предметную плоскость повернуть вокруг основания k картины (как показано стрелкой на рис. 139а) до совмещения с картинной плоскостью, то получим перспективный эпюр (рис. 139б). Чтобы на перспективном эпюре строить изображения предметов, находящихся в предметном пространстве, нужно уметь находить перспективу точки, потому что, соединив должным образом на картине проекции точек, принадлежащих донному предмету, можно получить перспективу этого предмета.

а) б)

Рис. 139

Для построения перспективы какой-либо точки, кроме общего способа, рассмотренного в § 40, можно воспользоваться тем положением, что перспективная проекция точки находится на перспективной проекции прямой, проходящей через эту точку. Следовательно, для построения перспективы точки можно провести через нее две какие-либо прямые и построить их перспективные проекции, на пересечении которых и находится перспектива данной точки. Удачный выбор двух указанных прямых облегчает построение.

137

* Символ « » означает подобие.

k, а затем соединить Е с D1. Искомая точка А′ = МР ЕD1.

ПРИМЕР 61. Дана перспектива А′В′ отрезка АВ, лежащего в предметной плоскости (рис. 141). Найти его натуральную величину.

Решение. Произведем построения аналогичные приведенным на рис. 139б: 1) точки А′ и В′ соединим с Р и найдем точки 1 = А′Р k и 2 = В′Р k; 2) из точек 1 и 2 восставим перпендикуляры а и b к основанию картины k; 3) соединим точки А′ и В′ с любой из дистанционных точек (например, D) и найдем точки 3 = А′D k и 4 = В′D k; 4) через точки 3 и 4 проведем прямые с и d, образующие с k углы в 45 ; 5) найдем точки А0 = а с и В0 = = b d и соединим их между собой. Отрезок А0В0 и есть натуральная величина отрезка АВ, заданного перспективой А′В′.

ПРИМЕР 62. Построить перспективу окружности t, лежащей в предметной плоскости (рис. 142).

Решение. Для построения эллипса t′, в который проецируется на кар-

138

Проведя через центр О данной окружности ОО1 k и соединив О1 с Р, найдем точки 2′, 4′ и О′, являющиеся перспективами точек 2, 4 и О. Заметим, что точка О′ – перспектива центра О данной окружности – не является центром эллипса t′. Проведя через О′ прямую, параллельную k до пересечения с А1Р и В1Р, определим точки касания 1′ и 3′ искомого эллипса t′ и трапеции А′В′С′Е′. Таким образом, получены четыре точки касания: 1′, 2′, 3′ и 4′. Можно построить и другие точки эллипса t′. Например, для построения перспективы точки 5, лежащей на диагонали квадрата ВЕ, нужно через 5 провести 551 k и найти точку 5′ = 51Р DE1.

139

§ 43. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАСШТАБЫ.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ СПОСОБОМ КООРДИНАТ

Для определения положения точки в пространстве ее, как известно, относят к системе трех взаимно перпендикулярных осей координат с оди-

наковыми по ним масштабами. В перспективе используется три масшта-

ба: широт, глубин и высот. Такие масштабы, подготовленные предварительно, значительно облегчают построение перспективы точек, заданных их координатами в системе Оxyz.

Рассмотрим пространственную схему построения перспективной проекции такой системы координат Оxyz (рис. 143а). Поместим начало координат О в произвольной точке предметной плоскости и расположим систему так, чтобы x k, y k и z . Масштаб широт строится на оси х, масштаб глубин – на оси у, а масштаб высот – на оси z. Спроецируем эти оси из центра проекций на картину . При указанном расположении осей координат ось х спроецируется в прямую x′ k, ось у – в прямую у′, на-

Рис. 143

строения произведены на плоскости.

1.Масштаб широт. Пусть дана перспектива х′ координатной оси х

,кроме того, х k (рис. 144). На х′ нужно построить перспективы А′, В′, С′

…точек А, В, С …, находящихся на оси х в пространстве на расстояниях

141

резок МОявляется перспективой отрезка МО, следовательно, можно сказать, что МО– перспектива отрезка, принадлежащего оси у и равного отрезку МО1, находящемуся на основании картины k. Отложим на k от О1 отрезки О1А1 = А1В1 = В1С1 …, равные единице длины и соединим точки А1, В1, С1 … с D прямыми. В пересечении этих прямых с О′Р получим соответственно точки А′, В′, С′ … Основываясь на аналогии с доказанным относительно треугольника МО′О1, заключаем, что МА′ – перспектива отрезка МА, принадлежащего Оу и равного МА1, а отсюда О′А′ – перспектива отрезка ОА, лежащего на той же оси и равного отрезку О1А1, т.е. единице. Следовательно, точки А′, В′, С′ … являются перспективами точек А, В, С …, лежащих на оси у и имеющих координаты на данной оси, равные 1, 2, 3 … единиц. Эти координаты показаны на рис. 145 (1′ ≡ А′, 2′ ≡ В′ …). На том же рисунке видно, что отрезки О′А′ ≠ А′В′ ≠ В′С′ …, т.е. перспективы равных отрезков не равны между собой, следовательно, масштаб глубин – непропорционаный.

3. Масштаб высот. Пусть zявляется перспективой оси координат z (рис. 146). Построим на z′ перспективы А′, В′, С′ … точек А, В, С …, лежащих на оси z и имеющих координаты по данной оси 1, 2, 3 … единиц. Для этого соединим прямой точки О′ и Р и найдем точку О1 = РО′ k. Проведем прямую m1 k и на этой прямой отложим отрезки О1А1 = А1В1 =

О1А1 = 1. Аналогично этому отрезку А′В′, В′С′ … будут перспективами отрезков, лежащих на z и равных единице длины. Таким образом, точки А′, В′, С′ … являются перспективами точек А, В, С … лежащих на оси z и имеющих координаты 1, 2, 3 … единиц. Эти координаты указаны на рис.

142

146 (1′ ≡ А′, 2′ ≡ В′ …). На этом же рисунке видно, что О′А′ = А′В′ = В′С′ …, т.е. перспективы равных отрезков равны между собой, следовательно,

масштаб высот пропорциональный.

Построения перспективы предметов по координатам их точек с помощью перспективных масштабов называют способом координат или способом масштабов.

ПРИМЕР 63. В прямоугольной системе координат Охуz задана точка N (2, 4, 8). Построить перспективу этой точки способом масштабов.

Решение. Вообразим, что заданная система Охуz расположена в пространстве так, как показано на рис. 143а. Пусть основание картины k и линия горизонта h заданы (рис. 147). Возьмем на картине произвольную точку и поместим в нее перспективу О′ начала заданной системы координат, а на линии горизонта также произвольно выберем положение двух точек: главной – Р и одной дистанционной – D*. Построим перспективу осей ко-

длины в масштабе чертежа, и, соединив точки 11, 21 … с точкой Р, получим