FOE2016

Лекция 7. Концентрация носителей заряда в полупроводниках

Введем обозначения

n – концентрация электронов в зоне проводимости p – концентрация дырок в валентной зоне

Ec,V (k) - закон дисперсии

по определению

n N 1 2 f Ec (k) V V k

1. электроны в кристалле – газ невзаимодействующих частиц

E F

Хвост функции распределения E F 1, e kБT 1 kБT

Переход к распределению Больцмана

1

Электронный газ, который описывается функцией распределения Ферми-Дирака называется вырожденным, а электронный газ, характеризуемый больцмановской функцией распределения, – невырожденным.

Для электронов в зоне проводимости полупроводника Ec F 1 kБT

2. График функции распределения при наличии взаимодействия электронов

T = 0

а < 1

F

3. График функции распределения в системах пониженной размерности. жидкость сильно взаимодействующих электронов называется маргинальной ферми-жидкостью

f

а = 0

F E

Концентрация электронов в зоне проводимости

Алгоритм расчёта

... k ...dk ...dE

k

2

k - элемент объема, приходящийся на одно состояние в k -пространстве

бесконечности. Второй переход связан с тем, что подинтегральное выражение зависит от импульса лишь в меру зависимости от импульса энергии, которая входит в выражение для функции распределения.

переход от интегрирования по волновому вектору к интегрированию по энергии

k 2dk 12 kdk 2

Ec k Ec 2k 2 Ec E

2m*

k 2m*E dk 2 2m* dE

2

Заменив в (**) волновой вектор на энергию, получим:

Ec F kБT

3

Таким образом n Nc F12

вся информация о примеси содержится в значении уровня Ферми F.

предельный случай, когда выполняется условие невырожденности электронного газа:

и вычисляется явно:

В результате получаем

Ec F

n Nce KБT

классический предел реализуется, когда . При этом F12 e .

Числовая аппроксимация эффективной плотности состояний

Концентрация дырок в валентной зоне

p 2 1 f EV k

V k

Закон дисперсии

EV k EV 2k 2

2mp

4

Полученное выражение совпадает с выражением для функции распределения электронов в зоне проводимости с точностью до замены

NV 2 mpkБ2T 322

невырожденный случай

5

Лекция 8. Уравнение электронейтральности. Функция заполнения примесного центра

Учёт особенностей реальных полупроводников

Несколько эквивалентных минимумов

Долинное вырождение

Nc vNc или mn v2 / 3mn

Вырождение снимается короткодействующим потенциалом, связанным с искажением идеальной решетки вблизи атома примеси

4

1

Таким образом, с учетом междолинного взаимодействия как в Si , так и в Ge остается только спиновое вырождение локализованных сосояний с кратностью равной двум

( gd 2 ).

Рассмотри анизотропию закона дисперсии.

В Кремнии и германии закон дисперсии имеет следующий вид

Сведение анизотропной задачи к изотропной. Перейдём к новым координатам

1

Золотое правило статистики

Поскольку уровень Ферми, который содержит в себе всю информацию о легирующей примеси в этом выражении отсутствует, то оно справедливо также и для полупроводника в котором отсутствует примесь.

ni n p => np ni2

Уравнение электронейтральности

Значение уровня Ферми несет в себе всю информацию о характере легирования полупроводника.

По определению концентрации ионизованной ( Nd ) и нейтральной ( Nd0 ) примеси определяются как

2

Nd Nd (1 fd ), Nd0 Nd fd ,

Спросить, что такое fd

Функция заполнения примесного центра

Примесь служит примером открытой системы, т.е. системы, обменивающейся частицами с окружением. Необходимо использовать большое каноническое распределение Гиббса

FN p Epp Ae kБT

По определению вероятности:

p 1 ,

p

Нормировочную постоянную удобно выразить через термодинамический потенциал :

По определению среднее число частиц в системе есть:

В рамках метода эффективной массы каждое такое состояние оказывается вырожденным g- кратно, где g 2v . С учетом короткодействующего потенциала примеси, не описываемого приближением эффективной массы, вырождение по долинам

3

снимается и основной уровень связанного состояния оказывается вырожденным только по спину, т.е. g 2 .

Таким образом, рассматриваема примесь может находиться в трех состояниях: ионизованном ( p p0 0, N0 0, E E0 ); с одним электроном на примеси - такое состояние g - кратно вырождено ( p p1 1,...g, N p1 1, E E0 Ed ); с двумя электронами

Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике

Уравнение электронейтральности для собственного полупроводника n p ni

В соответствии с золотым правилом статистики

Eg

np Nc Nve kBT

Eg ni Nc Nv e 2kБT

4

Рассказать про генерационные и рекомбинационные процессы в полупроводниках

+

Подставим выражение для концентраций

Таким образом при T = 0 в собственном полупроводнике уровень Ферми F находится посередине запрещенной зоны. Если mp mn , то с повышением температуры уровень Ферми F смещается в сторону зоны проводимости. Если, наоборот, mp mn , то с повышением температуры уровень Ферми F смещается в сторону валентной зоны.

5