FOE2016

добиться прямого разрешения объекта (увидеть объект). С математической точки зрения переход от падающей волны к дискретным рассеянным волнам - Фурье-преобразование. Прямая картина получается с помощью обратного Фурье-преобразования

4

Лекция 3. Зонная теория твердого тела

Зонная теория твердого тела – теория, описывающая поведение электрона в твердых телах. Для этого нужно решить уравнение Шредингера. Из-за взаимного влияния частиц нужно решать задачу многих тел.

Данное уравнение зависит от ~1023 переменных. Как его решить?

Основные приближения зонной теории

Для перехода от многочастичной задачи описания кристалла к одночастичной задаче описания поведения электрона во внешнем поле используются адиабатическое и самосогласованное приближения.

Адиабатическое приближение (приближение Борна-Оппенгеймера)

Основная идея этого приближения – электроны движутся быстрее ионов. Будем рассматривать движение электронов на фоне неподвижных ионов. При этом координаты ионов играют роль параметров в уравнении движения для электронов, а не динамических переменных, для которых нужно писать свои уравнения движения.

r, R e r i R

Условия применимости адиабатического приближения

За время t xe 1

xi

Mm

1

В результате использования адиабатического приближения исходная задача упрощается описанием движения в поле неподвижных ионов

He Te Ue e Ue i

Ue i Ue i r , R

Самосогласованное приближение

Ue e заменяется на усредненный эффективный потенциал Ueff ri , зависящий только от координаты данного электрона и описывающий усредненное действие всех остальных электронов на данный. Процедура, с помощью которой осуществляется эта замена – метод Хартри-Фока.

В результате мы приходим к простому уравнению Шредингера для электрона.

здесь U r - периодический потенциал кристалла. U r U r R

Описание решения волнового уравнения в периодическом потенциале

Теорема Блоха: можно выбрать такой набор собственных значений волнового уравнения в периодическом потенциале, что при трансляции на вектор решетки волновая

функция переходит сама в себя и приобретает дополнительный фазовый множитель

r R eikR r

k - квазиволновой вектор электрона

2

R R R R . Данному условию удовлетворяет R kR

Докажем, что скалярное произведение kR – действительное число. Будем использовать доказательство «от противного». Пусть Im k 0 . Тогда существует такое

Свойства электрона в периодическом потенциале

Блоховская волновая функция – волновая функция, описывающая поведение электрона в кристалле Способы задания волновой функции на границе кристалла

1.обращение волновой функции в 0 на границе кристалла

2.кристалл как бы замкнут в кольцо по каждому направлению r r Lei

Данное граничное условия называются граничным условием Борна-Кармана

По теореме Блоха r R eikR r Т.к. k безразмерный, то выберем в качестве базиса в пространстве волновых векторов вектор обратной решетки

k x1b1 x2b2 x3b3

3

Найдем x1,2,3 из граничных условий Борна-Кармана. ei L ai Ni , Ni – число элементарных ячеек в данном направлении.

Таким образом, граничные условия Борна-Кармана записываются следующим образом

r r Nai eikNai r

Отсюда получаем, что eikNai 1

Nai k 2 n

x1b1 x2b2 x3b3 ai N 2 n

aibj 2 ij

2 Nxi 2 n

xi ni Ni

Различные состояния электрона в кристалле задают различные значения вектора k

k n1 b1 n2 b2 n3 b3 N1 N2 N3

Элементарный объём, приходящийся на одно состояние в пространстве волновых векторов

N - полное число элементарных ячеек в кристалле b1b2b3 зона Бр. – объём зоны Бриллюэна

зона Бр. N

w

Число разрешенных состояний в зоне Бриллюэна равно числу ячеек в кристалле

4

Лекция 4. Зонная теория твердого тела

Следствие теоремы Блоха

Волновая функция электрона в кристалле имеет вид k r eikr u r , где амплитуда u r (блоховский множитель) обладает периодичностью кристалла u r u r R .

Доказательство.

uk r e ikr r , uk r R e ik r R r R e ik r R eikR r e ikr r u r

Подставим волновую функцию k r eikr u r в уравнение Шрёдингера

пределах одной элементарной ячейки. Оператор, стоящий в левой части уравнения, является эрмитовым. Т. к. мы решаем задачу Штурма-Лиувилля в ограниченной области пространства, то спектр (набор собственных значений) эрмитова оператора будет дискретным.

E En , n – натуральное число

Волновой вектор k входит в уравнение Шрёдингера в качестве параметра гамильтониана. Поэтому, следует ожидать, что энергия уровня En будет непрерывной

функцией En k . Т. е. закон дисперсии электрона в кристалле представляет из себя дискретный набор непрерывных функций от k которые называются разрешенными зонами. Зона – интервал значений, который принимает функция En k в пределах изменений квазиволнового вектора в пределах первой зоны Бриллюэна. Т. к. En дискретны, то разрешенные зоны чередуются с запрещёнными.

1

Запрещённая зона – интервал значений энергии, в котором отсутствуют разрешенные электронные состояния, т. е. в данном интервале энергий нет собственных значений решения уравнения Шредингера

Квантовые числа, характеризующие состояние электрона в кристалле

Электрон в атоме: n, l, m, s Свободный электрон: kx , ky , kz , s

Электрон в кристалле (блоховский электрон): n (номер зоны), kx , ky , kz , s

Волновой вектор блоховского электрона принадлежит первой зоне Бриллюэна

En k G En k

n k G r n k r

Сравнение свободного и блоховского электронов

Квазиимпульс сохраняется с точностью до вектора обратной решетки p1 p2 G

2

Классификация твердых тел с точки зрения зонной теории

Металлы – вещества, которые при 0К проводят электрический ток. Диэлектрики и полупроводники ток не проводят. При нагреве у полупроводников появляется конечная проводимость.

Электрический ток – направленное движения электров под действием внешнего электрического поля. Т. е. на электрон действует электрическая сила. Под действием внешней силы электрон ускоряется, его кинетическая энергия возрастает. Электрон переходит в состояние с большей энергией. Для такого перехода должен существовать незанятый энергетический уровень. Если поле слабо, то для возникновения проводимости должна существовать непрерывная граница между занятыми и свободными состояниями. Т. о. мы приходим к выводу, что в металлах граница заполненных и незаполненных состояний (энергия Ферми) находится в разрешенной зоне. Если часть разрешенной зоны при нулевой температуре заполнена полностью, а часть пуста, то для возникновения электрического тока достаточно приложить даже малое пол.

Металлы – вещества у которых уровень Ферми лежит в разрешенной зоне. У полупроводников и диэлектриков уровень Ферми лежит в запрещенной зоне. Различие между полупроводниками и диэлектриками качественное.

полупроводники - Eg 3 эВ диэлектрики Eg 3 эВ

В полупроводниках верхняя заполненная зона – валентная зона, нижняя пустая зона – зона проводимости,

Чтобы определить к какому типу относится конкретное вещество нужно решить задача о заполнении энергетической зоны. Заполнение происходит в соответствии с принципом Паули. В кристалле различные состояния задаются набором квантовых чисел. Количество разрешенных состояний в пределах одной зоны для данного материала постоянно и равно числу элементарных ячеек N . Т. к. в состоянии с данным волновым вектором может находиться два электрона, то полное число состояний в зоне равно 2N .

Пусть число электронов на элементарную ячейку равно p . Если число p четное, то вещество может быть полупроводником или диэлектриком. Если нечетно, то металлом. Эта картина не учитывает межэлектронное взаимодействие. В природе существуют вещества с нечётным числом электронов на элементарную ячейку и являющиеся диэлектриками, и переходящие в металл при пониженных температурах (переход Мотта).

В полупроводнике носители заряда появляются за счёт термического возбуждения электронов из валентной зоны в зону проводимости

3

Эффективная масса

Свойства полупроводника во многом определяются свойствами электронов вблизи краёв энергетических зон (вблизи дна зоны проводимости и вблизи потолка валентной зоны). Край зоны – экстремум функции E k . Пусть k0 – точка экстремума. Разложим функцию E k в ряд Тейлора вблизи точки экстремума

Система координат, в которой тензор имеет диагональный вид, называется главными осями. Недиагональные элементы определяют углы поворота главных осей по отношению к исходной системе координат. По определению В полупроводниковых кристаллах в силу симметрии кристаллической решетки

Из вышеприведённой формулы следует, что поверхность постоянной энергии является трёхосным эллипсоидом

Если экстремум зоны лежит на оси симметрии кристалла более чем второго порядка (n > 2), то как минимум две диагональные компоненты тензора эффективной массы равны друг другу. Это следует из неизменности характеристик кристалла при преобразованиях симметрии (в том числе и поверхности постоянной энергии)

Если направление kz является осью симметрии Cn, то mx my mt , а mz ml . Закон дисперсии имеет вид

4

Полученная формула описывает закон дисперсии вблизи дна зоны проводимости у полупроводников четвёртой группы. В соединениях A3B5 экстремум лежит на пересечении осей симметрии, и поэтому mx my mz m*

Если зоны вырождены, то они пересекаются или касаются друг друга. В этом случае закон дисперсии имеет следующий вид

5