FOE2016

9

распределения Максвелла - Больцмана:

Электронный газ, подчиняющийся статистике Максвелла - Больцмана, называется невырожденным. Для электронов в зоне проводимости распределение (12) справедливо, если уровень Ферми располагается ниже дна зоны проводимости на величину не менее ЗкТ. Аналогично можно показать, что дырочный газ не вырожден, если уровень Ферми расположен выше потолка валентной зоны на величину не менее ЗкТ.

Рис.6. Функция распределения Ферми – Дирака при T >0 K, наложенная на энергетическую диаграмму полупроводника

Полупроводник называется не вырожденным, если в нѐм не вырождены как электронный, так и дырочный газ. Уровень Ферми в таком полупроводнике расположен в запрещенной зоне внутри интеграла энергии от EV+ЗкТ до ЕC- ЗкТ.

Если уровень Ферми оказался вне этого интервала, функцию распределения Ферми - Дирака уже нельзя заменить функцией распределения Максвелла-Больцмана. Полупроводники называются полностью вырожденными, если уровень Ферми заходит в глубь зоны проводимости (для электронного полупроводника) или в глубь валентной зоны (для дырочного полупроводника) Боле, чем на 5кТ.

На рис.6 функция Ферми - Дирака изображена непосредственно на схеме энергетических уровней полупроводника. Параметр EF показывает, как нужно располагать функцию f относительно энергетических уровней системы.

Концентрация электронов и дырок

Зная функцию распределения электронов и дырок и плотности квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зон, можно вычислить концентрации электронов и дырок. Для невырожденного полупроводника расчѐт даѐт:

где

соответственно в зоне проводимости и валентной зоне. Численные значения NC, NV для германия, кремния и арсенида галлия при комнатной температуре (300 K) приведены в таблице 3.

Величины mC и mV называются эффективными массами плотности состояний соответственно электронов и дырок. Они определяются эффективными массами электронов и дырок и структурой энергетических зон полупроводника. Перемножая концентрации электронов (6) и дырок (7), получим

Таким образом, произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике есть величина постоянная при данной температуре. Она не зависит от концентрации легирующих примесей и является характеристикой данного полупроводника. Еѐ величину можно найти, рассмотрев частный случай собственного

полупроводника. Полагая np ni2 , получаем следующую зависимость ni от абсолютной температуры.

Температурная зависимость концентрации носителей

Рассмотрим температурную зависимость концентрации основных носителей на примере полупроводника n–типа проводимости. Свободные электроны в полупроводнике п – типа проводимости возникают благодаря их переходам из валентной зоны в зону проводимости, что приводит образованию р свободных дырок, и с уровней донорной примеси, благодаря чему возникает ND+ ионов доноров (рис.7).

При Т > 0 К эти два процесса играют неодинаковую ролью Для перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости необходима энергия, равная ширине запрещенной зоны Е порядка 0,5 - 2,5 эВ, в то время, как для перевода электрона с уровня примеси необходима, энергия равная энергии ионизации примеси ED=ЕC-ED порядка 0,05 эВ. Что значительно меньше ширины запрещенной зоны Е.

Температурная зависимость концентрации электронов представлена на рис.8. Для еѐ изображения выбран наиболее рациональный логарифмический масштаб по оси ординат и обратная температура по оси абсцисс. В таком представлении участки экспериментального изменения концентрации с температурой выглядит прямыми линиями, наклон которых определяется соответствующими энергиями активации.

При низких температурах основную роль играют переходы электронов с примесного уровня, переходами электронов из валентной зоны можно пренебречь. Эта область температур называется областью ионизации примеси. Как показывает расчет, в этой области концентрация электронов растѐт экспоненциально. Из наклона прямой на этом

11

участке зависимости ln(n) = f(1/T) можно определить энергию активацию примеси ED.

Энергия

n

EC

ED

E

EV

Рис.7. Тепловая генерация носителей заряда в полупроводнике с донорной примесью

Рис.8. Температурная зависимость концентрации электронов в n-германии с концентрацией доноров ND=1.5·1015 см-3. 1 – область ионизации примеси, 2 – область истощения примеси, 3 – область собственной проводимости

Рост концентрации электронов продолжается до температуры TS, называемой температурой истощения примеси. По достижении этой температуры вся примесь оказывается полностью ионизированной. В то же время переходами электронов из валентной зоны всѐ ещѐ можно пренебречь. Поэтому в области температур от TS до TI, называемой областью истощения примеси, концентрация электронов остаѐтся постоянной, равной концентрации донорной примеси: n=ND. Температура TI называется температурой перехода к собственной проводимости.

Следует отметить, что концентрация дырок в области истощения примеси не остаѐтся постоянной, а увеличивается в соответствии с выражениями (16) и (17).

По достижении температуры TI концентрации дырок и электронов сравниваются. При температурах, больших TI, можно пренебречь концентрацией электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости. Основную роль играют переходы из валентной зоны, и полупроводник становится собственным: n=p=ni и температурная зависимость концентрации в области собственной проводимости описывается выражением (17).

Температурная зависимость подвижности носителей заряда

В идеальном кристалле электроны и дырки свободно движутся и не сталкиваются друг с другом и с атомами полупроводника. В реальном кристалле всегда имеются нарушения периодичности решетки - центры рассеяния.

При взаимодействии с центром рассеяния электроны и дырки изменяют направление движения. После столкновения носители зарядов остаются в той же зон, то есть их концентрация не меняется. Наиболее эффективными центрами рассеяния электронов и дырок в кристаллах являются ионы примесей и тепловые колебания атомов решетки.

При низких температурах преобладает рассеяние на ионизированных атомах примеси. Для z - кратно заряженных ионов примеси подвижность следующим образом зависит от температуры.

где IO – коэффициент , не зависящий от температуры; NI - концентрация рассеивающих ионов примеси.

При рассеянии на тепловых колебаниях решетки подвижность уменьшается с ростом температуры следующим образом.

где TO - коэффициент, не зависящий от температуры.

Общий вид зависимости, обусловленной комбинациями обоих типов рассеяния, показан на рис.9.

Чем больше концентрация заряженных центров в полупроводнике, тем при более высоких температурах происходит переход от рассеяния на ионизированных атомах примеси к рассеянию на тепловых колебаниях решетки.

Уже при достаточно низких температурах в полупроводниках начинает преобладать рассеяние носителей на тепловых колебаниях решетки и зависимость подвижности от температуры обратно пропорциональна абсолютной температуре в степени p. Как следует из результатов экспериментальных исследований, у большинства полупроводников показатель степени p не равен теоретическому значению -3/2. В таблице 4 приведены значения показателя p для различных полупроводниковых материалов ( ~Tp). Отличие показателя p от -3/2 может быть объяснено тем, что в реальных полупроводниках рассеяние носителей заряда происходит не только на акустических фононах. Могут иметь место и другие механизмы рассеяния, такие как рассеяние на оптических фононах, двухфононное рассеяние, рассеяние на носителях заряда.

Рис.9. Типичные температурные зависимости подвижности электронов в кремнии n-типа проводимости; NDNDNDТаблица 4

Температурная зависимость удельной электропроводности

Зависимость электропроводности полупроводника от температуры (Т) определяется температурными зависимостями концентрации основных носителей (для определенности, электронов) n(T) (рис.8) и их подвижности (T) (рис. 9).

Вобласти истощения примеси концентрация электронов постоянна, поэтому ход кривой (Т) определяется только зависимостью (T). Если провести достаточно точные измерения температурной зависимости удельной электропроводности в области истощения примеси, то по этой зависимости в некоторых случаях можно определить вид полупроводникового материала. Например, легко можно отличить кремний n-типа проводимости от германия n-типа проводимости.

На рис.10 представлены зависимости удельной электропроводности кремния n-типа проводимости от обратной температуры в широком диапазоне температур и в диапазоне температур от комнатной температуры до T=300 ºC.

Вобласти собственной проводимости, где концентрация экспоненциально растѐт с

температурой, можно пренебречь слабой зависимостью (T). В этой области ход кривых(Т) и п(Т) различается незначительно, что позволяет использовать температурную зависимость электропроводности в области собственной проводимости для определения ширины запрещенной зоны полупроводника.

Используя выражения (3) и (9), электропроводность полупроводника в области собственной проводимости можно записать в виде

где b= n p.

Наиболее точно ширину запрещѐнной зоны при любой температуре определяют экспериментально с помощью оптических методов, основанных на исследовании спектральных зависимостей поглощения, фотопроводности и люминесценции.

16

Экспериментальная часть: Методика выполнения работы

1. Образец для измерений

Измерение зависимости (T) проводят на образце Ge, который схематично показан на рис.13. Образец представляет собой брусок германия n-типа проводимости. Металлизированные контакты I и IV служат для пропускания тока вдоль образца, контакты II и III - для измерения падения напряжения на участке образца. Размеры образца: c=4 мм, d=4 мм, l=5.5 мм.

l

c

Рис.12. Образец германия n-типа проводимости для измерения зависимости удельной электропроводности от температуры

2. Описание лабораторной установки

Блок-схема макета лабораторной установки для измерения температурной зависимости удельной электропроводности полупроводника представлена на рис.13. Измерения сопротивления образца производится четырехконтактным методом.

Макет измерительной установки состоит из следующих блоков.

1.Управляющий компьютер.

2.Источник напряжения постоянного тока Agilent E3434A, служащий для задания тока через резистивный нагреватель в измерительной камере (Н). Источник управляется компьютером через интерфейс PCI – GPIB, NI-488.2 фирмы «National Instruments».

3.Источник напряжения постоянного тока Agilent E3434A, служащий для задания тока через контакты I и IV образца. Источник управляется компьютером через интерфейс

PCI – GPIB, NI-488.2 фирмы «National Instruments».

4.Коммутатор, служащий для изменения направления тока через образец и стабилизации его в процессе измерений. Коммутатор управляется компьютером через интерфейс LPT. Резистор R в коммутаторе служит для поддержания тока через образец постоянным в процессе изменения температуры образца.

5.Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий падение напряжения на образце (контакты II и III). Вольтметр управляется компьютером через интерфейс USB.

6.Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий ток через образец (контакты I и IV). Вольтметр управляется компьютером через интерфейс USB.

7.Вольтметр Agilent E34405A, контролирующий напряжение термопары (ТП). Вольтметр управляется компьютером через интерфейс USB.

8.Термокамера, в которой размещены резистивный нагреватель образца Н и термопара ТП, подключенные к соответствующим выводам. Внутри камеры установлен измеряемый образец, который подключен к четырем выводам из камеры. Спай термопары прижат к поверхности образца.

17

1

USB

NI-488.2 LPT

3

Н

Рис.13. Блок-схема макета измерительной установки

1 – управляющий компьютер;

2 – источник напряжения для резистивного нагревателя; 3 - источник напряжения для задания тока через образец; 4 – коммутатор;

5 – вольтметр для измерения падения напряжения на образце; 6 - вольтметр для измерения тока через образец; 7 – вольтметр для измерения напряжения термопары;

8– измерительная камера с образцом.

3.Подготовка к проведению измерений

1)Проверьте по блок-схеме правильность соединения блоков макета установки.

2)Включите вольтметры и источники напряжения и дайте им прогреться в течение примерно 5 мин. Все приборы после включения должны пройти самотестирование.

3)Включите управляющий компьютер. После его включения загружается программа соединения блоков макета установки с компьютером «Agilent Connection Expert».

4)Запустите на исполнение прикладную программу измерения температурной

работа №1»

18

Рис.15. Главное меню

4. Проведение измерений

Главное меню служит для выбора одной из четырех опций, которым соответствуют четыре меню первого уровня.

1)Опция «Имитация» предназначена для проведения имитационных измерений зависимости удельной электропроводности в диапазоне температур от комнатной до температуры 470 К обеспечивает следующее:

- ввод исходных данных об образце и режиме имитационного измерения температурной зависимости удельной электропроводности;

- собственно имитационное измерение; - вывод результатов измерения в графическом виде; - обработку результатов измерения; - запись данных в файл.

2)Опция «Помощь», служит для ознакомления с целью проведения лабораторной работы, основными теоретическими сведениями и методикой проведения измерений.

3)Опция «Измерения» предназначена для проведения реальных измерений удельной электропроводности в диапазоне температур от комнатной температуры до температуры 490 К обеспечивает следующее:

- ввод исходных данных об образце и режиме измерения температурной зависимости удельной электропроводности;

- температурной зависимости удельной электропроводности; - собственно измерение; - вывод результатов измерения в графическом виде;

- обработку результатов измерения; - запись данных в файл.

4)Опция «Результаты», служит для загрузки файла данных одного из предыдущих измерений и обработки результатов измерения.

Кнопка «Выход» в каждом меню первого уровня предназначена для выхода из программы измерений.