Формула ньютона-лейбница

ТЕОРЕМА 3. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:

, Где .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

В силу теорем 1 и 2 можно записать, что . Рассмотрим равенство, если. Из геометрического смысла определенного интеграла очевидно, что .

Следовательно, и. Тогда.

Положим в этом равенстве , а переменную интегрирования вновь обозначим как , тогда

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Разность значений функции часто записывают в виде:

.

Вертикальную черту с верхними и нижними индексами, стоящую справа от символа функции, называют знаком двойной подстановки. Он указывает, что из значения функции, принимаемого в верхнем индексе, нужно вычесть значение, принимаемое в нижнем индексе.

Формула Ньютона-Лейбница дает основной способ вычисления определенных интегралов при помощи неопределенного интегрирования.

Свойства интегралов

СВОЙСТВО 1. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от каждой из функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

а). Рассмотрим неопределенный интеграл от суммы двух непрерывных функций. Докажем, что

.

Возьмем дифференциал от левой и правой части равенства

,

.

Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.

б). Рассмотрим теперь определенный интеграл. Покажем, что

.

Доказательство основано на связи определенного и неопределенного интегралов. Пусть - первообразная для, а- первообразная для. Тогда- первообразная суммы.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

СВОЙСТВО 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

а). Рассмотрим неопределенный интеграл и покажем, что

.

Найдем дифференциалы от левой и правой части равенства:

, .

Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.

б). Рассмотрим определенный интеграл и покажем, что

.

Пусть - первообразная для, тогда первообразнаядля функцииравна. По формуле Ньютона-Лейбница можно записать:

Остальные три свойства относятся только к определенному интегралу.

СВОЙСТВО 3. Если пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен 0, т.е. .

Справедливость этого свойства следует из геометрического смысла определенного интеграла.

СВОЙСТВО 4. При перестановке пределов интегрирования интеграл умножается на (-1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Покажем, что . По формуле Ньютона-Лейбница

.

СВОЙСТВО 5. Теорема о разбиении интервала интегрирования

Если функция интегрируема в наибольшем из промежутков,и, то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть . По формуле Ньютона-Лейбница-,.

Тогда

,

.

Равенство справедливо и в том случае, если точка лежит вне промежутка. Пусть, например,. По доказанному утверждению, так каклежит между значениямии,

.

Откуда .

Меняя местами, пределы второго интеграла в правой части равенства, получим предыдущий случай

.

3.2 Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Этот метод интегрирования основан на знании таблицы основных интегралов, свойствах интегралов и простейших преобразованиях.

ПРИМЕРЫ. Найти неопределенные и определенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойства 1 и 2, а также формулу (1) из таблицы интегралов для степенной функции, тогда

.

Результат интегрирования можно проверить дифференцированием: .

2). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки под знаком интеграла и, проинтегрировав функцию почленно (применим свойства 1 и 2), получим

.

Проверка:

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним почленное деление, применим свойства 1 и 2

.

Проверка: .

4). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки и проинтегрируем функцию почленно

Это первый способ, но можно решить и другим способом.

Обратим внимание, что , тогда

.

Этот интеграл можно рассматривать как , следовательно:.

Проверка: .

5). .

РЕШЕНИЕ

(- интеграл вида).

Вообще: .

Рассмотренный метод называют внесением под знак дифференциала.

6). .

РЕШЕНИЕ

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, выделив производную знаменателя

(- интеграл вида).

7). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойство 1 и формулу Ньютона-Лейбница, тогда

.

Метод подстановки (замены переменной)

ТЕОРЕМА 4. Если является первообразной для функциина некотором промежутке, адифференцируемая на промежуткефункция, значения которой принадлежат, то– первообразная для функции, гдеи

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть имеет первообразную , т.е. . Тогда

.

Если x = φ(t), где φ(t) – дифференцируемая функция, то в силу инвариантности формы первого дифференциала имеем следующую «цепочку» равенств:

.

Проинтегрируем первое и последнее звено «цепочки» и получим:

.

ПРИМЕРЫ. Вычислить неопределенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Заменим переменную функцией, т.е., тогдаи

,

перейдем к исходной переменной. Если , то, следовательно, имеем:* = .

2). .

РЕШЕНИЕ

Аналогично предыдущему примеру получим

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним подстановку , тогдаи

.

ТЕОРЕМА 5. Пусть функция непрерывна на промежутке, а– функция, определенная на промежуткеи дифференцируемая на нем; причем,. Тогда

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По теореме 4 .

Значит

, т.е. .

ПРИМЕРЫ. Вычислить определенные интегралы.

4). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если при вычислении неопределенного интеграла методом подстановки необходим переход к исходной переменной, то в определенном интеграле этого не требуется.

5). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.