- •Федеральное агентство по образованию
- •М. М. Афанасьева, о.С. Громова, в. А. Павский
- •В 3-х частях
- •Часть 2
- •Isb n 5-89289-216-6
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Функции нескольких переменных
- •1.1 Общие сведения
- •1.2 Производные и дифференциалы
- •1.3 Экстремумы функции нескольких переменных
- •1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •Тема 2. Комплексные числа
- •Комплексная плоскость
- •Действия над комплексными числами
- •Тема 3. ОпределенныЙ и неопределенный интегралы
- •3.1 Основные понятия и теоремы Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
- •Определенный интеграл
- •I этап.
- •Связь интегрирования с дифференцированием
- •Неопределенный интеграл
- •Формула ньютона-лейбница
- •, Где .
- •Свойства интегралов
- •Метод интегрирования по частям
- •3.3 Основные классы интегрируемых функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •3 Случай.
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •3.4 Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •3.5 Приложения интегрального исчисления к геометрии Применение определенных интегралов к вычислению площадей
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление объёмов
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •Тема 5. Ряды
- •5.1 Числовые ряды
- •5.2 Числовые ряды с положительными членами
- •Интегральный признак Коши
- •Первый признак сравнения
- •Второй признак сравнения
- •Признак Даламбера
- •5.3 Знакопеременные ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •Достаточный признак сходимости
- •5.4 Степенные ряды
- •Теорема Абеля
- •Свойства степенных рядов
- •5.5 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •Разложение по степеням X некоторых элементарных функций
- •5.6 Применение степенных рядов Интегрирование функций
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Контрольные задания
- •9. . 10..
Тема 2. Комплексные числа
Если ограничиваться только вещественными числами, то, действие извлечения корня не всегда выполнимо: корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. Это обстоятельство приводит к необходимости расширения понятия о числе и введению новых чисел с более общими свойствами.
Комплексная плоскость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексным числом называют выражение вида , гдеи- действительные числа, а- мнимая единица, удовлетворяющая равенству.
Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической формой, причем -вещественной частью, а -мнимой частью, что записывается так: ,.
Комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого выбирают систему декартовых координат ,, после чего любое комплексное числоотождествляется с радиус-вектором точки(рис. 5). Такую плоскость называюткомплексной плоскостью.
Действительные (вещественные) числа являются частным случаем комплексных чисел, если в формуле положить. Они изображаются точками на вещественной оси, т. е. оси. Если у комплексного числа отсутствует действительная часть, то его называют чисто мнимым и изображают на мнимой оси, т.е. оси.
На рис.6 показаны комплексные числа ,и.
На комплексной плоскости часто рассматривают также полярные координаты иточки. Их называютмодулем и аргументом комплексного числа и обозначают,(рис. 5). Связь между модулем и аргументом комплексного числаи его действительной и мнимой частями устанавливается известными формулами:
, , ,
, ,.
Заменяя ив алгебраической форме комплексного числа, их выражениями черези, получим так называемуютригонометрическую форму комплексного числа:
.
Модуль любого комплексного числа имеет вполне определенное значение, тогда как аргумент определен с точностью до целого числа полных оборотов. Поэтому значение полярного угла , которое удовлетворяет неравенству, называетсяглавным значением аргумента , а функция, где–общим значением аргумента.
ПРИМЕР. Найти корни уравнения .
Решение
Для решения квадратного уравнения с вещественными коэффициентами воспользуемся известной формулой
.
Уравнение имеет два комплексных корня и.
ПРИМЕР. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
a), б), в).
Решение
а) Найдем модуль и аргумент числа . Так как действительная часть комплексного числа , а мнимая часть, то
,.
Для определения угла следует помнить, что тангенс угла принимает положительные значения в первой и третьей четвертях. Для определения четверти можно изобразить точку, соответствующую числуна комплексной плоскости, и поскольку она лежит в третьей четверти, то. Отсюда можно записать комплексное число в тригонометрической форме .
б) Если , то, а.
Отсюда:
в) Если , то,.
Отсюда: .
Действия над комплексными числами
Определим на множестве комплексных чисел отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: если , , то равенстворавносильно двум вещественными.
Операции сложения и вычитания комплексных чисел удобно выполнять в алгебраической форме.
При сложении комплексных чисел складываются их вещественные части, а также их мнимые части.
Если обозначить и , то
.
При вычитании комплексных чисел вычитаются их вещественные части, а также их мнимые части:
.
Умножение и деление комплексных чисел можно выполнить как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.
Если воспользоваться тригонометрической формой ,, то
.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
В алгебраической форме .
Таким образом, комплексные числа можно перемножать как буквенные многочлены, считая .
В частном случае, когда и(иназываютсопряженными числами), получим:
.
Это свойство сопряженных комплексных чисел используется при делении комплексных чисел.
Модуль частного комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:
, .
Если делимое и делитель записаны в алгебраической форме, то
, .
Для операций сложения и умножения комплексных чисел выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, справедливы все те преобразования,
ПРИМЕР. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел:
и .
РЕШЕНИЕ
,,
.
Для того чтобы найти частное, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю и выполним действия с многочленами:
.
ПРИМЕР. Найти произведение и частное чисел ив тригонометрической форме.
РЕШЕНИЕ
Найдем модули и аргументы чисел и, чтобы записать их в тригонометрической форме:
, ,
,.
Тогда
.
Теперь получим
, .
Возведение в степень комплексного числа и извлечение корня из комплексного числа производятся по формулам Муавра:
,
, .
ПРИМЕР. Вычислить .
РЕШЕНИЕ
ПРИМЕР. Решить уравнение , если.
РЕШЕНИЕ
Запишем уравнение в виде . Выполнив деление, представим числов алгебраической форме:
.
Теперь выразим число в тригонометрической форме, получим:
.
Применим формулу Муавра:
..
Итак, получаем 4 корня:
при ;
при ;
при ;
при .