Связь интегрирования с дифференцированием

Рассмотрим определенный интеграл, у которого нижний предел остается постоянным, а верхний изменяется.

Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать различные значения интеграла; следовательно, при этих условиях интеграл является функцией своего верхнего предела

,

здесь - переменная интегрирования, изменяющаяся в промежутке .

ТЕОРЕМА 1. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотрим непрерывную, принимающую неотрицательные значения в промежутке функцию. Зафиксируем точкуи обозначим черезплощадь криволинейной трапеции с основанием,(рис. 9), тогда

.

Если переменная получит приращение, тоизменится на(см. рис. 9). Геометрически ясно, что

,

где и- соответственно наименьшее и наибольшее значения функциив промежутке . Ведь- площадь прямоугольника, целиком лежащего внутри фигуры, площадь которой обозначена, а- площадь прямоугольника, содержащего эту фигуру. Разделим все части неравенства на приращение, тогда.

Так как непрерывная функция на отрезке, то она принимает в этом интервале хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, в том числе и значение. Обозначим через точку, в которой , .

Рассмотрим предел этого выражения при условии, что . Тогда точка, а значениек значению функции. По свойствам пределов будем иметь:

, .

ЗАМЕЧАНИЕ: Эта теорема показывает, что интегрирование и дифференцирование - обратные операции.

Неопределенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию F(x), производная которой равна подынтегральной функции, называют первообразной.

Как нахождение производной было одной из основных задач дифференциального исчисления, так нахождение первообразной является одной из основных задач интегрального исчисления.

Например, рассмотрим функцию . Мы знаем, что. Функцияпервообразная для функции.

Если найти производные от функций ,,, где- произвольная постоянная величина, то все они равны. Следовательно, любая из функцийявляется первообразной для функции.

ТЕОРЕМА 2. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим, что функция имеет первообразную функцию. Тогда функцияпри всякой постояннойбудет также первообразной, так как. Итак, функцияимеет бесчисленное множество первообразных.

Пусть функции и- первообразные для функции, т.е.и. Тогда. Но. Следовательно,.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность всех первообразных для подынтегральной функции называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл обозначается также как и определенный, только без указания границ, т.е. если , то

.

Из этой формулы следуют равенства:

1. ,

2. 

3. ,

4. .

График первообразной для функции называетсяинтегральной кривой функции .

Из определения неопределенного интеграла как совокупности первообразных следует, что семейство всех интегральных кривых может быть получено параллельным переносом линиина величинув направлении оси ординат (рис. 10).

В таблице 1 приведены производные и первообразные для основных элементарных функций.

ТАБЛИЦА 1

Таблица производных	Таблица интегралов
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8. =	8.
9. =	9.
10. =	10.
11. =	Замечание: справедливость формул можно проверить дифференцированием.
12. =

Связь между определенным и неопределенным интегралом показывает формула НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.