- •Федеральное агентство по образованию
- •М. М. Афанасьева, о.С. Громова, в. А. Павский
- •В 3-х частях
- •Часть 2
- •Isb n 5-89289-216-6
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Функции нескольких переменных
- •1.1 Общие сведения
- •1.2 Производные и дифференциалы
- •1.3 Экстремумы функции нескольких переменных
- •1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •Тема 2. Комплексные числа
- •Комплексная плоскость
- •Действия над комплексными числами
- •Тема 3. ОпределенныЙ и неопределенный интегралы
- •3.1 Основные понятия и теоремы Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
- •Определенный интеграл
- •I этап.
- •Связь интегрирования с дифференцированием
- •Неопределенный интеграл
- •Формула ньютона-лейбница
- •, Где .
- •Свойства интегралов
- •Метод интегрирования по частям
- •3.3 Основные классы интегрируемых функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •3 Случай.
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •3.4 Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •3.5 Приложения интегрального исчисления к геометрии Применение определенных интегралов к вычислению площадей
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление объёмов
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •Тема 5. Ряды
- •5.1 Числовые ряды
- •5.2 Числовые ряды с положительными членами
- •Интегральный признак Коши
- •Первый признак сравнения
- •Второй признак сравнения
- •Признак Даламбера
- •5.3 Знакопеременные ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •Достаточный признак сходимости
- •5.4 Степенные ряды
- •Теорема Абеля
- •Свойства степенных рядов
- •5.5 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •Разложение по степеням X некоторых элементарных функций
- •5.6 Применение степенных рядов Интегрирование функций
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Контрольные задания
- •9. . 10..
Свойства степенных рядов
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
1). Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
2). Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны , где- сумма ряда.
3). Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до, если, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
5.5 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
Пусть функция, дифференцируемая бесконечное число раз в окрестности точки. Предположим, что её можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в некотором интервале, содержащем точку. Т.е.
Найдем числовые коэффициенты ,,, …,,… этого ряда. Подставим в равенство (1) значение
Отсюда .
Теперь продифференцируем равенство (1):
Подставим в равенство (2)
Отсюда .
Продифференцируем равенство (2):
(3)
Подставим в равенство (3)
Отсюда
Если продолжать дифференцирование и в получающиеся равенства подставлять , то можно последовательно найти все коэффициенты ряда (1), т.е.
Подставим найденные коэффициенты в равенство (1), тогда:
(5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенной ряд вида (5) называют рядом Тейлора для функции .
Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция разлагается в ряд непосредственно по степеням
, (6)
этот ряд называют рядом Маклорена.
Составить ряд Тейлора можно для любой функции, дифференцируемой бесконечное число раз. Однако, остается открытым вопрос: будет ли полученный ряд сходиться и, если сходится, то будет ли в области сходимости его сумма равна данной функции . Обозначимчастичную сумму ряда Тейлора:
.
Тогда
Здесь - остаток илиостаточный член ряда Тейлора.
Примем без доказательства следующее утверждение:
Ряд Тейлора представляет данную функцию только тогда, когда.
Если , то ряд Тейлора не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).
Если ряд Тейлора для функции сходится к этой функции, то величина остаточного членадает ошибку, которую мы делаем, заменяячастичной суммой ряда Тейлора.
Для оценки остаточного члена ряда Тейлора его можно записать в форме Лагранжа:
где
Если в некотором интервале, содержащем точку , при любомn выполняется неравенство , где постоянная, тои функцияпредставима в виде суммы ряда Тейлора.
Ниже представлены разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций.
Используя разложения 1) – 7) таблицы 2 можно достаточно просто получить разложение элементарной функции в ряд.
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням x функцию
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (2):
Заменим в этом разложении на :или
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням функцию .
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (1) табл.2 :
Заменим в разложении на:.
Теперь умножим все члены ряда на и получим .
Легко найти, что областью сходимости полученного ряда является вся числовая ось.
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням функцию.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (4):
Преобразуем выражение для данной функции:
Заменим в разложении (4) на () и подставим:
Т.к. для разложения (4) область сходимости , то для того, чтобы найти область сходимости полученного ряда, решим неравенство. Умножим обе части неравенства на (-4), тогда:.
Этот интервал является областью сходимости полученного ряда.
ТАБЛИЦА 2