5.3 Знакопеременные ряды

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакочередующимся рядом называют числовой ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки.

Если первый член ряда положительный, то знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и общий член ряда стремится к нулю, то

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит абсолютной величины первого члена ряда;

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представимв виде:

.

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем, т.е.для любого.

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его черезS, т.е. , причем.

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

.

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равнаS.

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его суммаменьше абсолютной величины первого членат.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда : и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n, члены ряда убывают по абсолютной величине и. Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называют знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа.

Достаточный признак сходимости

Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд (1) тоже сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через - частичную сумму ряда (1). Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим. Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим. Тогда.

Частичную сумму ряда (2) обозначим . По условию ряд (2) сходится, значит,имеет конечный предел, () причем.

Так как можно записать тои. Таким образом- возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если. Тогда последовательностьтоже имеет предел, а это значит, что ряд (1) сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка следования его членов.

Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма ряда изменится. Более того, можно так переставить члены ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Этот ряд знакопеременный, т.к. при различных значенияхn может быть как положительным, так и отрицательным.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему первый признак сравнения.

Так как при любом n то для каждого слагаемого можно записать оценку: .

Таким образом, члены ряда из абсолютных величин не превосходят соответствующие члены сходящегося ряда . Согласно первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Из этого следует сходимость ряда с произвольными членами, т. е. ряд сходится абсолютно.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Запишем ряд в виде

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (1):

Это числовой ряд с положительными членами, общий член которого имеет вид . Обобщенный гармонический рядрасходится.

Таким образом, исследуемый ряд (1) не может быть абсолютно сходящимся. Проверим его на условную сходимость.

Так как ряд (1) знакочередующийся, то к нему применим признак Лейбница. Проверим два условия:

- члены ряда по модулю убывают, .

Следовательно, ряд (1) сходится условно.