Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть имеется дуга некоторой кривой, впишем в неё ломаную линию, и будем увеличивать число звеньев ломаной таким образом, чтобы наибольшая из длин отрезков стремилась к нулю (рис. 21). Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от того, какие ломаные мы вписываем, то дуга называетсяспрямляемой, а предел - длиной этой дуги.

Рассмотрим задачу о вычислении длины дугикривой, заданной в декартовой системе координат, если- дифференцируемая функция, имеющая непрерывную производную в промежутке, причем точкамисоответствуют значенияи.

Пусть - вписанная ломаная. Её вершинам соответствуют значенияи. Произвольно выберем отрезоки вычислим его длину (рис. 22): , где ,,.

По теореме Лагранжа о конечных приращениях

.

Подставим и получим

.

Для периметра всей ломаной получим формулу:

,

и так как длина дуги по определению равна пределу данной интегральной суммы, можем записать

.

При параметрическом способе задания кривой

так как , а, имеем

,

где и- значения параметра на концах дуги, причём,.

В случае если кривая задана в полярных координатах , длина дуги,

где и- значения аргументана концах дуги кривой.

ПРИМЕР. Найти длину дуги кривой ,если изменяется от 0 до 1.

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся формулой . Найдём:. Подставим полученную производную в формулу длины дуги, тогда

.

Вычисление объёмов

Рассмотрим тело, ограниченное замкнутой поверхностью. Пересечём его плоскостью, перпендикулярной к любой из его осей, например к оси . Будем считать, что площадь сечения является заданной функциейего расстояния от начала координат. Предположим, что тело заключено между двумя плоскостямии. Объём такого тела вычисляется по формуле

.

Если тело, объём которого предстоит вычислить, получено в результате вращения непрерывной кривой с уравнениемвокруг оси, то в сечении получается круг радиуса(рис. 23). Следовательно, площадь поперечного сечения,

а объём

.

Если вращение происходит вокруг оси , то,

где - уравнение непрерывной кривой,и- ограничивающие плоскости.

ПРИМЕР. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,,вокруг оси(рис. 24).

РЕШЕНИЕ

Тело, полученное в результате вращения фигуры (криволинейной трапеции), является параболоидом вращения. Его объём можно вычислить по формуле

.

Тема 4. Дифференциальные уравнения

4.1 Основные понятия

При решении экономических, технических, биологических и других задач за основу берется некоторый общий закон, связывающий бесконечно малые изменения рассматриваемых величин (дифференциальный закон). Уравнения, получаемые при выводе закона, называются дифференциальными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные (или дифференциалы).

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение – го порядка может быть записано в виде

,

где - неизвестная функция,- некоторая функциональная зависимость между независимой переменной, функциейи ее производными.

Например: - дифференциальное уравнение 1-го порядка,- дифференциальное уравнение 2-го порядка,- дифференциальное уравнение 3-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

ПРИМЕР. Показать, что функции , гдепроизвольная постоянная, являются решениями дифференциального уравнения.

РЕШЕНИЕ.

Найдем первую производную функций :и подставим ее в уравнение. Получим тождество:, т. е. функцииявляются решениями дифференциального уравнения. Уже на этом примере, видно, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Процедура отыскания решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Если задачу нахождения всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, а также к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах.

В общем случае решение уравнения - го порядка находится в результатепоследовательных интегрирований, поэтому решение уравнения содержитпроизвольных постоянных. Эту совокупность решений называютобщим решением дифференциального уравнения - го порядка и записывают в явной или неявнойформе.

Частным решением дифференциального уравнения называют общее решение, для которого указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для определения произвольных постоянных необходимо задать столько же условий. Эти условия включают задание значения функции и ее производных в определенной точке. Так для уравнения - го порядка необходимо задать

.

Числа называютначальными значениями, а равенства – начальными условиями. Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.