- •Федеральное агентство по образованию
- •М. М. Афанасьева, о.С. Громова, в. А. Павский
- •В 3-х частях
- •Часть 2
- •Isb n 5-89289-216-6
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Функции нескольких переменных
- •1.1 Общие сведения
- •1.2 Производные и дифференциалы
- •1.3 Экстремумы функции нескольких переменных
- •1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •Тема 2. Комплексные числа
- •Комплексная плоскость
- •Действия над комплексными числами
- •Тема 3. ОпределенныЙ и неопределенный интегралы
- •3.1 Основные понятия и теоремы Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
- •Определенный интеграл
- •I этап.
- •Связь интегрирования с дифференцированием
- •Неопределенный интеграл
- •Формула ньютона-лейбница
- •, Где .
- •Свойства интегралов
- •Метод интегрирования по частям
- •3.3 Основные классы интегрируемых функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •3 Случай.
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •3.4 Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •3.5 Приложения интегрального исчисления к геометрии Применение определенных интегралов к вычислению площадей
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление объёмов
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •Тема 5. Ряды
- •5.1 Числовые ряды
- •5.2 Числовые ряды с положительными членами
- •Интегральный признак Коши
- •Первый признак сравнения
- •Второй признак сравнения
- •Признак Даламбера
- •5.3 Знакопеременные ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •Достаточный признак сходимости
- •5.4 Степенные ряды
- •Теорема Абеля
- •Свойства степенных рядов
- •5.5 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •Разложение по степеням X некоторых элементарных функций
- •5.6 Применение степенных рядов Интегрирование функций
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Контрольные задания
- •9. . 10..
4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство .
Если уравнение разрешено относительно производной , то оно приобретает вид:
или в дифференциальной форме .
Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка может быть записано в неявном и явномвидах. И, так как в нем присутствует одна произвольная постоянная, то для нахождения частного решения необходимо задать одно начальное условие:.
График частного решения представляет собой линию, проходящую через точку с координатами . Эта линия называетсяинтегральной кривой.
Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует и единственно, решает следующая теорема.
ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)
Если функция непрерывна в области, содержащей точку, то уравнениеимеет решениетакое,
что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение единственно.
Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида
называют уравнением с разделенными переменными. Функции ибудем считать непрерывными.
Произведем интегрирование и получим связь между переменными и, освобожденную от их дифференциалов
,
т. е. функцию, которая является общим решением исходного уравнения.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .
РЕШЕНИЕ.
Запишем уравнение в виде .Переменные разделены, так как множитель перед дифференциаломявляется функцией только от переменной, а множитель передфункцией только от переменной. Интегрируя обе части уравнения, получим
или .
Если умножить уравнение на 2 и ввести обозначение , то общее решение можно записать в виде.
Интегральными кривыми для исходного уравнения являются окружности с центром в начале координат.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .
Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделёнными переменными, достаточно разделить его на произведение :
.
Тогда получим уравнение , которое легко интегрируется:.
Надо помнить, что деление уравнения на функцию может привести к потере частных решений, которые получаются из уравнения. Определяя из этого уравнения решение, следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, то его нужно отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общее решение, т.е. будет ли оно частным решением. Если решение не является частным решением, его называютособым.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .
РЕШЕНИЕ
Представим производную как, тогда уравнение можно записать в дифференциальном виде.
Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на . Получим равенство, которое проинтегрируем:
, ,.
Это и есть общее решение уравнения.
ПРИМЕР. Найти решение уравнения .
РЕШЕНИЕ
Запишем уравнение в виде: . Теперь заменимна:
.
Если умножить уравнение на и разделить на, то получим уравнение с разделёнными переменными:.
Найдем интегралы от обеих частей равенства:
или.
Это общий интеграл (решение) дифференциального уравнения. Полученную функцию можно упростить и привести к виду .
Проверим, является ли частным решением уравнения функция . Подставимив исходное уравнение:, получим тождество. Следовательно, функцияявляется решением уравнения. Если общее решение уравнения записать в виде, то функцияполучится из него, когда, т.е. она является частным решением.
ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения (общее решение)
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .
РЕШЕНИЕ
Это уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для чего обе части уравнения поделим на :
.
Получим уравнение:
.
Проинтегрируем его:
, ,.
Константу для дальнейшего упрощения функций удобно взять в форме. Таким образом, общий интеграл запишется в виде
.
В этом уравнении при делении на функцию может быть потеряно решение. Но это решение получается из общего решения, если, т.е. является частным решением.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставим начальные условия в общий интеграл и найдем значение константы:, откуда. Тогда частное решение запишется в виде:.
ПРИМЕР. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения
РЕШЕНИЕ
Убедимся, что это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для этого вынесем за скобки общие множители
.
Теперь разделим обе части уравнения на ,
и после сокращения получим
Переменные разделены, можно интегрировать:
Найдем каждый интеграл отдельно:
,
Общий интеграл (решение) уравнения примет вид:
Это выражение можно преобразовать, воспользовавшись свойством логарифмов, тогда получим .