- •Федеральное агентство по образованию
- •М. М. Афанасьева, о.С. Громова, в. А. Павский
- •В 3-х частях
- •Часть 2
- •Isb n 5-89289-216-6
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Функции нескольких переменных
- •1.1 Общие сведения
- •1.2 Производные и дифференциалы
- •1.3 Экстремумы функции нескольких переменных
- •1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •Тема 2. Комплексные числа
- •Комплексная плоскость
- •Действия над комплексными числами
- •Тема 3. ОпределенныЙ и неопределенный интегралы
- •3.1 Основные понятия и теоремы Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
- •Определенный интеграл
- •I этап.
- •Связь интегрирования с дифференцированием
- •Неопределенный интеграл
- •Формула ньютона-лейбница
- •, Где .
- •Свойства интегралов
- •Метод интегрирования по частям
- •3.3 Основные классы интегрируемых функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •3 Случай.
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •3.4 Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •3.5 Приложения интегрального исчисления к геометрии Применение определенных интегралов к вычислению площадей
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление объёмов
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •4.1 Основные понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •Тема 5. Ряды
- •5.1 Числовые ряды
- •5.2 Числовые ряды с положительными членами
- •Интегральный признак Коши
- •Первый признак сравнения
- •Второй признак сравнения
- •Признак Даламбера
- •5.3 Знакопеременные ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •Достаточный признак сходимости
- •5.4 Степенные ряды
- •Теорема Абеля
- •Свойства степенных рядов
- •5.5 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •Разложение по степеням X некоторых элементарных функций
- •5.6 Применение степенных рядов Интегрирование функций
- •Интегрирование дифференциальных уравнений
- •Контрольные задания
- •9. . 10..
4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем виде можно записать как
или .
Общее решение и общий интеграл уравнения содержат две произвольные постоянные и задаются формулами или.
Частное решение уравнения находится, если задать начальные условия (задача Коши) .
ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)
Если функция непрерывна в окрестности значений, то уравнениеимеет решениетакое, что. Если, кроме того, непрерывны и частные производныеи, то это решение единственно.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
I. Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка, когда правая часть уравнения не содержит и
.
Такое уравнение решается последовательным двукратным интегрированием.
ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение .
РЕШЕНИЕ
Последовательно интегрируя уравнение, найдем сначала первую производную:, а затем саму функцию:.
II. Дифференциальное уравнение, правая часть которого не содержит
,
можно свести к уравнению первого порядка с помощью подстановки:
,
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .
РЕШЕНИЕ.
Положим, , тогда. Подставимв уравнение:
.
Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решим его методом Бернулли. Разделим обе части уравнения на множитель
и будем искать в виде. Тогда. Подставимв уравнение:
, .
Составим систему уравнений
1 этап: решим первое уравнение системы и найдем функцию :
Тогда , откуда.
2 этап: подставим полученное выражение для функции во второе уравнение системы и найдем функцию:
Вычислим интегралы, входящие в левую и правую части уравнения
Тогда получим .
3 этап: т.к. то
4 этап: поскольку то получим уравнениеили,,,
Это общее решение исходного уравнения.
Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной , т.е. уравнение вида
.
Это уравнения можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью подстановки . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции.
ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения .
РЕШЕНИЕ
Уравнение не содержит явным образом независимую переменную , поэтому введем новую переменную. Тогда. Подставимив уравнение и получим:. Уравнение распадается на два:и.
Из первого уравнения следует, что или.
Второе уравнение с разделяющимися переменными: .
Общий интеграл уравнения . Применим свойства логарифмов и получим, что. Тогда. Подставим в решениеи получим, что.
Вновь пришли к уравнению с разделяющимися переменными:
.
Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид
и .
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
, (*)
где - функции непрерывные на некотором промежутке.
Это уравнение называется уравнением с правой частью или неоднородным.
Если то уравнение имеет вид
(**)
и называется уравнением без правой части или однородным.
ТЕОРЕМА 1. Если функции - линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их линейная комбинацияявляется общим решением того же уравнения. Здесь- произвольные постоянные.
Замечание: функции называются линейно независимыми, если их отношение не равно постоянной величине, т.е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Продифференцировав дважды функцию : ,и подставив ив левую часть уравнения, получим:
.
Так как функции ипо условию теоремы есть решения уравнения, то выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функцияудовлетворяет исходному уравнению, а поскольку она зависит от двух произвольных постоянных, то является общим решением уравнения.
ТЕОРЕМА 2. Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. .
Здесь - общее решение неоднородно уравнения;- общее решение однородного уравнения;- частное решение неоднородного уравнения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим через общее решение однородного уравнения, а через- какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
Рассмотрим функцию . Имеем,.
Подставляя выражения для в левую часть уравнения (*), получим:
.
Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, т. к. - решение однородного уравнения, а выражение во второй квадратной скобке равно, т. к.- решение неоднородного уравнения. Следовательно, функцияесть решение уравнения. Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных, то оно и есть общее решение уравнения.