Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради (файле), чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. На обложке тетради (титульном листе) должны быть написаны (разборчиво) фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины, дата отправки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.

Количество контрольных работ и заданий в них определяется в зависимости от специальности и в соответствие с учебным планом. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, соответствующие положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержащие задачи не из своего варианта, могут быть не зачтены.

НОМЕР ВАРИАНТА соответствует последней цифре шифра студента в зачетной книжке: шифру 6453 соответствует вариант №3. Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, при этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. Выполнить исправления можно в конце той же тетради (после записи «Работа над ошибками»). В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений. Вносить исправления в сам текст работы после рецензирования запрещается.

Если контрольная работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена. Студент не получивший зачета, хотя бы по одной работе, к экзамену (зачету) не допускается.

Тема 1. Функции нескольких переменных

1.1 Общие сведения

В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. В науке нередки случаи, когда для определения значения некоторой величины необходимо установить значения, совместно принимаемые несколькими независимыми переменными.

Так, например, объём кругового цилиндра есть функция от радиусаего основания и от высоты; зависимость между этими переменными выражается формулой, которая даёт возможность определить значение объёма, зная значения двух переменныхи.

Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке: температуры, плотности, напряжений и т. д. Все эти величины можно рассматривать как функции координат точки, то есть как функции от трёх независимых переменных.

Функции, зависящие от двух и более переменных, называют функциями нескольких переменных.

Наиболее часто приходится иметь дело с функцией от двух переменных. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторое множество точек с координатами и обозначим его через D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину называют функцией независимых переменных и на множестве D, если каждой паре этого множества по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины .

Множество D называют областью определения функции . Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и,обозначается различными способами:,,и т.д.

Если паравзята из области, то называют частным значением функции , которое она принимает, когда.

Пример. Найти область определения функции . Найти частное значение функции в точке.

РЕШЕНИЕ

Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменныхи, для которых одновременно выполняются следующие условия:и. Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1.

Частное значение функции в точке равно.

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x,у) плоскости.

Подобно тому, как функция геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию, ставя в соответствие каждой точкеаппликату. Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называютуравнением поверхности.

Пример. Пусть задана функция . Ее область определения найдем из неравенства, т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусомr (рис. 2). Графиком функции является верхняя половина сферы (разрешив уравнение сферы относительноz, получим две однозначные функции :и).

Рассмотрим функцию и точку.Полным приращением функции в точкеназывают разность.

Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, напримерх, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение

_,

которое называют частным приращением функции пох.

Также задается частное приращение по переменной :_.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениямисоответствует бесконечно малое приращение, т.е.

, где .

Обозначим через, ачерез. Тогда из того, чтоиследует, чтои. И условие непрерывности функцииможно записать в виде:

или .

Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке.