Разложение по степеням X некоторых элементарных функций
5.6 Применение степенных рядов Интегрирование функций
Разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд, можно, используя возможность интегрирования степенных рядов, представить интеграл в виде степенного ряда и найти величину этого интеграла с заданной точностью.
ПРИМЕР.
Вычислить 
с
точностью до 0,01.
РЕШЕНИЕ.
Разложим
подынтегральную функцию в степенной
ряд по степеням
:
т.к.
то 
.
Тогда
.
Т.к.
ряд знакочередующийся, а третий член
ряда меньше заданной точности
,
мы взяли только два первых слагаемых.
Интегрирование дифференциальных уравнений
Для
целого ряда дифференциальных уравнений
решение
представимо в виде степенного ряда,
коэффициенты которого можно определить
с учетом заданного уравнения и начальных
условий различными способами. Рассмотрим
на примерах один из них.
ПРИМЕР. Найти
четыре первых, отличных от нуля, члена
разложения в степенной ряд решения
уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию
.
РЕШЕНИЕ
Будем искать решение уравнения в виде степенного ряда:
.
Подставляя в уравнение начальное условие, находим:
.
Дифференцируя
последовательно уравнение по переменной
,
получим:
, 
.
Полагая
и используя значения,
,
,
находим последовательно
,
.
Подставив
полученные значения в ряд, получим:
.
Контрольные задания
Задание
№. 1. Найти
наименьшее и наибольшее значения
функции
в замкнутой области
,
заданной системой неравенств. Сделать
чертеж.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание
№. 2. Дано
комплексное число
.
Требуется: 1) записать число
в алгебраической и тригонометрической
формах; 2) найти все корни уравнения
.
1.
. 2.
. 3.
. 4.
.
5.
.6.
. 7.
. 8.
.
9. . 10..
Задание №. 3. Вычислить интегралы.
1.
а)
, б)
, в)
.
2.
а)
, б)
, в)
.
3.
а)
, б)
, в)
.
4.
а)
, б)
, в)
.
5.
а)
, б)
, в)
.
6.
а)
, б)
, в)
.
7.
а)
, б)
, в)
.
8.
а)
, б)
, в)
.
9.
а)
, б)
, в)
.
10.
а)
,
б)
, в)
.
Задание №.4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
1. 
. 2.
. 3.
.
4. 
. 5.
6.
7. 
. 8.
. 9.
10. 
.
Задание №.5. Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.
1.
. 2.
.
3. 
. 4.
.
5. 
. 6.
.
7. 
. 8.
.
9. 
.
10. 
.
Задание №6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
Задание №7. Решить дифференциальное уравнение второго порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 
Задание №8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
1. 
,
.
2. 
,
.
3. 
,
.
4. 
,
.
5. 
,
.
6. 
,
.
7. 
,
.
8. 
,
.
9. 
,
.
10. 
,
.
Задание №9. Исследовать на сходимость числовой ряд.
1.
. 2.
. 3.
. 4.
.
5.
. 6.
. 7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
Задание №10. Найти область сходимости степенного ряда.
1.
. 2.
. 3.
4.
. 5.
. 6.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
.
Задание №11. Вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.
1.
. 2.
. 3.
. 4.
.
5.
6.
. 7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
Задание
№12. Найти
три первых, отличных от нуля члена
разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию
.
1. 
2.
3. 
4.
5. 
6.
7. 
8.
9. 
10.