- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
Множество действительных чисел
Множество действительных чисел R линейно упорядочено, образует поле по отношению к арифметическим операциям, включает в себя множество рациональных чисел Q. Важным свойством действительных чисел является свойство непрерывности, понятие, основанное на признаке близости соседних элементов. Во множестве R получила развитие теория пределов, непрерывных функций, что привело к созданию дифференциального и интегрального исчисления. Множество R имеет кардинальное число 2æ0 – мощность континуума.
Из школьной математики известно, что десятичные дроби бывают конечные и бесконечные. Бесконечные дроби разделяют на периодические и непериодические. Любые рациональные числа, включая целые, представимы в виде периодической десятичной дроби. Существуют ли числа, представимые непериодическими десятичными дробями, то есть числа, не являющиеся рациональными? Это тем более важно, что в области рациональных чисел не определено решение уравнений, например, или,. Такие числа существуют, и они не только представимы десятичной непериодической дробью, но и являются, по этой причине, решениями уравнений отмеченного класса. Эти числа назвали иррациональными (irrationalis – недоступные разуму, не существующие), и в совокупности с рациональными они образуют множество действительных чисел R, существенно расширяющих понятие числа.
Покажем, что на координатной (числовой) прямой можно поместить все действительные числа и других, более широкого множества чисел, там быть не может 3.
В самом деле, пусть имеем числовую прямую, то есть геометрическую прямую, на которой заданы начало, масштаб и направление. Сечением прямой в любой ее точке (числе) p назовем ее представление в виде двух интервалов вида: 1) ; 2), где. Воспользуемся одним из свойств, определяющих рациональное число: для любых,всегда содержится бесконечное число неравных рациональных чисел. Отсюда следует, что есть еще один вариант сечения числовой прямой: 3), то есть существует нерациональное число, через которое проходит сечение. Таких чисел, очевидно, много больше, чем рациональных чисел. Объединяя их в одно множество, получим, что любое сечение числовой прямой проходит через действительное число, то есть имеем деление на два класса чисел, и других чисел нет. Именно поэтому числовую прямую называют множеством действительных (вещественных) чисел.
Построением теории действительных чисел занимались Г. Кантор, Дедекинд (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) и К. Вейерштрасс (K.T.W. Weierstras, 1815-1897). Рассмотренные здесь сечения называются сечениями Дедекинда.
Итак, множество действительных чисел R состоит из множества рациональных чисел Q и множества чисел, дополняющих рациональные числа до непрерывности, то есть иррациональных, обозначаемое как или.
В дальнейшем выяснилось, что действительные числа удобно разделить на два класса: алгебраические числа и все остальные, которые назвали трансцендентными.
Алгебраические – это числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений n-ой степени вида, где ,. Если, то корень уравнения, если он существует, называется целым алгебраическим числом (например, уравнениеимеет корнем целое алгебраическое число, а уравнениеимеет корнем просто алгебраическое число).
Ясно, что каждое рациональное число – алгебраическое, так как является решением уравнения.
Примерами трансцендентных чисел являются, например, число , число, число. Хотя трансцендентных чисел очень много, проверить на иррациональность заданное число очень трудно. Существуют числа, трансцендентность которых еще не выяснена.