§ 2. Характеристический многочлен

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель. Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно,является функцией, ставящей в соответствие операторуA скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение. Скаляр  называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n-мерном векторном пространстве L, если

. (VI.5)

Рассматривая как вектор, любой вектор,, коллинеарныйx, будет собственным вектором с собственным числом . Если собственному значению  соответствует два вектора, x и y, то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множествоM всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения  называется размерность подпространства M; собственное значение  называется простым, если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого  О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n-мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператораA, соответствующих аналогичному семейству собственных значений ,, линейно независимо.

Доказательство. Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при, теорема верна, но неверна при. Тогда, если система векторов,, …,,будет линейно зависимой, то есть существуют числа,, не все равные 0, например,, что выполняется

. (VI.6)

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

. (VI.7)

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

.

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и,но, по предположению,, тогда, но тогда, что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообразx – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный , мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n-мерном действительном линейном пространстве L и пусть ,, некоторый базис, наконец– матрица оператораA в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица, то есть. Отсюда заключаем, что кратность совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать 11, что

,

то есть тогда и только тогда, когда, где. Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно заменыA на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

,

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от. Максимальная степень  входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

,

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L.

Для того, чтобы число было собственным значением оператораA необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?

Решение. Нет, не является, поскольку характеристический многочлен один и тот же для семейства подобных матриц. В самом деле, линейные операторы совпадают, если совпадают их матрицы. Рассмотрим два базиса и. Пусть операторA, имеет в базисе матрицу, а в базисе–. Тогда эти матрицы подобны, то есть, гдеQ – некоторая невырожденная матрица. Для любого , учитывая, что, имеем

.

Переходя к определителям матриц, получаем характеристический многочлен. То есть линейный оператор определяется характеристическим многочленом с точностью до подобия матриц.

Благодаря определителям задача нахождения собственных значений свелась к задаче алгебраической. В области действительных чисел не всякий многочлен степени имеет хотя бы один действительный корень. В то же время в области комплексных чисел, как следует из основной теоремы алгебры, любой многочлен имеет хотя бы один комплексный корень и, тем самым,n корней, пусть даже кратных. Этим объясняется большое значение комплексных линейных пространств.

Задача. Показать, что множество многочленов образует коммутативное кольцо (достаточно выполнения аксиом кольца).