- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
Деление отрезка в данном отношении
Рассмотрим в пространстве вектор (рис. IV.7). Пусть M – внутренняя точка направленного отрезка, тогда . Число называется отношением, в котором точка M делит отрезок .
Вычислим координаты точки , которая делит отрезок в отношении , где , .
Учитывая формулы (IV.8 а) – (IV.8 в), получаем
.
Приравнивая последовательно дроби к числу , будем иметь
, , . (IV.10)
Формулы (IV.10) называются формулами деления отрезка в отношении .
Пример IV.1. Для деления отрезка пополам, полагая , получаем координаты точки .
Замечание. Для положительных значений точка M лежит между точками M1 и M2, для отрицательных – вне отрезка . Для формула (IV.10) не имеет смысла.
Упражнение. Получить формулы (IV.5), используя преобразование подобия.
Пример IV.2. Начало вектора находится в точке , конец в точке . Найти координаты вектора , его длину и направление.
Решение. Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно от координат конца вычесть координаты начала вектора:
.
Найдем длину вектора: .
Теперь по формулам (IV.10) имеем: , , .
§ 4. Базис системы векторов
Определение. Система векторов , , называется линейно зависимой, если существуют такие константы ,,, не все равные нулю, что имеет место равенство
.
Если из этого равенства с необходимостью следует, что если , то система называется линейно независимой.
Определение. Базисом в 3-х мерном пространстве называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства (см стр. 77, § 2).
Теорема IV.1. Векторы , , L3 образуют базис тогда и только тогда, когда
0, где .
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть векторы образуют базис, тогда по определению эти векторы линейно независимые, а следовательно, равенство
,
которое эквивалентно однородной системе
выполняется только в случае . Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное нулевое решение только в том случае, когда
.
По 1-му свойству определителей получаем
.
Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть для векторов , , пространства L3 выполняется
.
Проверим линейную независимость векторов , составим равенство , рассмотрим однородную систему уравнений
так как определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, не равен нулю, т.е.
,
то эта система имеет единственное нулевое решение, по определению, векторы образуют систему линейно независимых векторов, а, следовательно, и базис в пространстве L3. Теорема доказана.
Если векторы , , образуют базис, а вектор представляется в виде , тогда числа , , называются координатами вектора в базисе , , , то есть .
Пример IV.3. Даны три векторы , , . Показать, что они образуют базис, и найти разложение вектора в этом базисе.
Решение. Покажем, что вектора , , образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:
.
Так как 0, то, по теореме IV.1, векторы , , образуют базис. Отсюда получаем разложение вектора по базисным векторам , , :
.
Чтобы найти координаты , , вектора в новом базисе, необходимо найти решение следующей системы уравнений:
Решим эту систему методом Крамера, имеем
, ,
, .
Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение: , , . То есть
.
Определение. Совокупность всех 3-х мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-х мерное векторное пространство.