Аксиоматическое построение теории определителей

Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы порядкаn над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей называется элемент кольца, равный сумме членов вида

, (II.3)

где ,, …,перестановки чисел 1, 2, 3, …,n, а k – число инверсий перестановки ,, …,.

Для приложений наиболее важные случаи: K – числовое поле, K – кольцо многочленов.

Нам потребуются некоторые определения и факты, относящиеся к конечным множествам.

Пусть – множество, состоящее из всех цифр, кроме 0,. Сколько различных девятизначных чисел можно составить из этих цифр, если они не повторяются? Очевидно, что если, то в этом случае имеет место только одно число 1, т.е. 1! вариантов; если, то возможно только 2 варианта: 12 и 21, т.е. 2!; если, то имеют место числа 123, 132, 213, 231, 312, 321, которых; длявсеговариантов. Ясно, что из цифр множестваможно составить 9! чисел.

В общем случае, пусть состоит изn различных элементов. Тогда число перестановок из всех элементов множества M, очевидно, равно n!. По определению положим и.

Пусть – подстановка, тогда если любые два числа поменять местами, то получим новую перестановку. Такое преобразование назовемтранспозицией.

Все n! перестановок из n различных элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причем начинать можно с любой перестановки.

Отсюда следует, что от любой перестановки из n элементов можно перейти к любой другой перестановке из тех же элементов при помощи нескольких транспозиций.

Будем говорить, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если , но в перестановкеi стоит раньше j.

Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной – в другом случае.

Например, перестановка 1, 2, …, n – четная, так как здесь число инверсий равно 0. Перестановка 1, 3, 5, 4, 2 – четная, так как для нее число инверсий равно 4.

Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Следствие. При число четных перестановок изn элементов равно числу нечетных, то есть .

Пример II.4. В подстановке найти число инверсий для получения тождественной подстановки.

Ответ: три инверсии.

Положим, . Из определения следует,

что множество определителей удовлетворяет условиям:

1) – линейная функция любой строки матрицыA:

;

2) если матрица B получена из A заменой строки строкой,, то;

3) , где– единичная матрица размераn.

Условия 1) – 3) однозначно определяют аксиоматическое построение теории определителей.

Проверим свойства 1) – 3) на примере матрицы 3-го порядка

, .

1)

;

2) к 1-й строке, умноженной на , добавим 2-ю, умноженную на :

;

3) – очевидно.

Пример II.5. Построить определитель третьего порядка.

Решение. Имеем . Из определения следует, что число членов определителя равно 3!=6. Из следствия следует, что число четных инверсий равно числу нечетных. Рассмотрим подстановку, из которой имеем,,,,,. Для первой подстановки из шести имеем член определителя, для второй –, далее,,,.

Таким образом, имеем

С точностью до слагаемых получили формулу (II.1).