§ 3. Строение множеств
Исходными символами в теории множеств являются
а) знаки: «=» – равенство, «» – принадлежность, «» – включение;
б) вспомогательные знаки: «}», «{» – правая и левая фигурные скобки служат для выделения описания множеств, «)», «(» – скобки для однозначного восприятия построенных формул; разделительные знаки: «» – читается «следует» и «,» – запятая;
в)
буквы, число которых бесконечно (не
путать с описанием множеств), возможны
индексы для обозначения множеств: A,
B,
C,
…,
,
,
,
…, для обозначения элементов множеств:a,
b,
c,
…,
,
,
,
….
г) логические знаки: «» – читается «и», «» – читается «или»;
д) кванторы (лат. quantor – сколько) – количественная характеристика внутренней связи множества и его элементов – общности «» – читается «для всех» – и существования «» – читается «существует».
Принадлежность
элемента a
множеству A
записывается «
»,
читается «элементa
принадлежит множеству A»,
а принадлежность множества B
множеству A
записывается «
»,
читается «множествоB
включено во множество A».
Если каждый элемент множества A
является элементом множества B,
и обратно, то пишут «
»,
то есть множества совпадают (изоморфны).
Если каждый элемент множества B
находится в A
и в A
есть хотя бы один элемент, не принадлежащий
B,
то B
есть собственное подмножество A,
пишут «
»,
если таких элементов может не быть, то
– «
».
Если
множество A
состоит из элементов a,
b,
c,
то есть конечное, то пишут
.
Если множествоA
бесконечное, то пишут
,
читается «множество элементовx
обладает свойством P».
Например, запись
описывает множество действительных
корней уравнения
;
очевидно, это множество состоит из двух
элементов {-4, 1}.
Пусть
,
гдеR
– множество действительных чисел. Это
множество может быть интерпретировано
и как множество, состоящее из трех
элементов, являющихся корнями уравнения,
и как множество, у которого хотя бы один
из них есть действительное число, в то
время как два других корня могут быть
комплексными числами.
Поскольку
при таком описании мы не можем точно
сказать, является ли произвольно
выбранное число элементом множества,
то это означает, что его характеристическое
свойство неопределенно. Следует данное
множество определить, например, так:
дано множество, состоящее из одного
элемента, являющегося единственным
действительным корнем уравнения
.
Заметим, что условие
не является необходимым.
Может
оказаться, что во множестве, заданном
характеристическим свойством, не
содержится ни одного элемента. Такое
множество называется пустым и обозначается
символом «».
Например,
,
если решение уравнения рассматривать
в области действительных чисел, и состоит
из двух элементов
,
если решать уравнение в области
комплексных чисел, где
.
Таким образом, пустое множество
можно определить как множество, не
имеющее ни одного элемента.
Кстати, уже можно сформулировать аксиому: «существует хотя бы одно множество». Кажется, что пустое множество не несет никакой конструктивной информации. На самом деле это не так. Его введение позволило получить, например, фундаментальные результаты как в самой алгебре, так и в других теориях, например теории вероятностей 8, 12.
Пусть
M
– множество и множество
,
говорят, чтоB
подмножество M.
Пустое множество является подмножеством
любого множества, т.е.
.
Множество, элементами которого являются другие множества, называется системой множеств.
Из любого множества можно построить систему множеств, например:
а)
дано ,
тогда
есть система множеств, состоящая из
одного элемента,
а
– множество, состоящее из двух элементов:
и
,
т.е. пустое множество и множество,
состоящее из одного элемента – пустое
множество, и т.д.;
б)
дано множество M,
тогда
– система множеств, состоящая из двух
элементов
и M;
в)
дано множество
,
состоящее из трех элементов. Все его
возможные подмножества:,
,
,
,
,
,
,
,
число которых равно
.
Обозначим
через
систему множеств, состоящую из всех
подмножеств множестваA.
Говорят, что
порождена множествомA.
Множества
типа
относятся
к классу универсальных. В теориях и
приложениях важными являются бесконечные
универсальные множества (пространства).
В таких множествах можно выполнять
действия с целью получения других
множеств. Выполнения этих действий в
универсальных множествах, аналогичных
алгебраическим операциям в универсальных
алгебрах, приводит к результату, который
определяется как подмножество исходного
множества. Эти операции называютсятеоретико-множественными.
К
ним относятся операции: объединение
«
»,
пересечение
«
»,
разность
«»,
в универсальных множествах рассматривается
операция дополнение
(отрицание) «».
Эти операции сильно напоминают алгебраические, что находит подтверждение и в аксиомах теории множеств 6, основанных, в общем-то, на здравом смысле.
1. Аксиома объемности. Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они равны, т.е.
.
2.
Аксиома суммы.
Для произвольных множеств A
и B
существует множество
(суммаA
и B),
элементами которого являются все
элементы множества A
и все элементы множества B,
и никаких других элементов не содержит,
т.е.
(
)(
).
3.
Аксиома умножения.
Для произвольных множеств A
и B
существует множество
(произведение множествA
и B),
состоящее из тех и только тех элементов,
которые содержатся и в A,
и в B,
т.е. (
)(
).
4.
Аксиома разности.
Для произвольных множеств A
и B
существует множество
(разность множествA
и B),
элементами которого являются те и только
те элементы A,
которые не содержатся в B,
т.е. (
)(
)
.
5. Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.
Данная система аксиом непротиворечива и неполна.
Аксиомы
не являются независимыми. Например,
аксиома умножения выводится из аксиомы
разности, так как
.
Из
аксиом 1 и 2 следует единственность
,
аналогично получаем единственность
.
Из
аксиом 1, 4 и 5 следует, что существует
единственное множество
– не содержащее элементов, т.е. пустое
множество.
Отношение
включения «»,
можно определить формулой (
)(
).
Аксиомы 1–5 позволяют получать новые множества, изучать их свойства и т.д.