- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
§ 5. Скалярное произведение векторов
До сих пор мы изучали понятие линейности и не касались количественных характеристик: угла и длины, что особенно важно для приложений. Для лучшего понимания дальнейшего рассмотрим двумерное линейное пространство над полем действительных чисел, с введенной в нем декартовой прямоугольной системой координат 11.
Пусть , . Тогда длина отрезка,
соединяющего концы векторов , , находится по очевидной формуле . Для расстояния до от начала введем обозначения . Перейдем к углам между векторами. Если – угол между отрезком, соединяющим O с и положительной осью Ox, а – угол между отрезком, соединяющим O с и той же осью, то углом между векторами и будет , тогда
.
Введем обозначение
.
С помощью полученного выражения можно очень простыми формулами выразить углы между векторами их длины.
Рассмотрим скалярное произведение векторов и , имеем по определению
, (IV.11)
где – угол между векторами и .
Пусть – проекция вектора в направлении вектора , тогда (рис. IV.7).
Рис. IV.7.
Отсюда , следовательно, , аналогично получаем
, где .
Геометрические свойства скалярного произведения 4
1) Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов является равенство 0 их скалярного произведения.
Замечание 1. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то будем считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Замечание 2. Под углом между векторами будем считать тот угол, который не превосходит .
2) Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).
Алгебраические свойства скалярного произведения 4
1) (коммутативность);
2) (ассоциативность);
3) (дистрибутивность);
4) , если нулевой, и в противном случае.
Выразим скалярное произведение векторов через их координаты. Пусть , , тогда получаем
,
учитывая, что , .
Определение. Если в Евклидовом пространстве задана декартовая система координат, то скалярное произведение векторов и называется число, заданное суммой произведений соответствующих координат, то есть
. (IV.12)
Из свойств скалярного произведения векторов и формулы (IV.12) следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов и :
.
Из первого определения скалярного произведения векторов и формулы (IV.11) следует, что
. (IV.13)
Пример IV.4. Найти такое число , для которого векторы и ортогональны.
Решение. Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, поэтому
, получили линейное алгебраическое уравнение относительно , отсюда или , то есть при векторы и будут ортогональны. В самом деле, имеем .
Пример IV.5. Найти углы и длины сторон треугольника с вершинами , , .
Решение. Определим координаты векторов: , , , так как угол A образован векторами и , то
.
По таблицам находим
.
Аналогично, , значит – прямой. Поскольку сумма углов треугольника равна 180, то . Длины сторон – это длины соответствующих векторов, поэтому:
; ; .
Пример IV.6. Найти скалярное произведение векторов и , если , , а угол между векторами и равен 60.
Решение. Имеем, последовательно:
.