Векторные свойства линейных операторов

Пусть A, B – линейные операторы и – произвольный вектор, тогда их сумма есть операторC, определяемый как

,

кроме того, .

Обозначим для каждого A через (–A) оператор, определенный как , тогда. Добавив свойство коммутативности и ассоциативности сложения, получим, что линейный оператор образует коммутативную группу по сложению (выполняются аксиомы 1 – 4 линейных пространств).

Для любого A и определим произведениекак. Легко показать выполнение других аксиом линейного пространства. Тем самым справедливо: множество всех линейных операторов образует линейное (векторное) пространство.

Умножение операторов

Оператор C называется произведением оператора A на оператор B и определяется как

.

Произведение линейных операторов – линейный оператор. В самом деле, и, имеем

. ▼

Далее, аналогично, показывается, что для любых операторов A, B, C и , выполняется

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Покажем, например, выполнение 4). Имеем ,

. ▼

Таким образом, множество линейных операторов образует некоммутативное кольцо.

Замечание. У линейных операторов имеется два «нехороших» свойства. Первое из них, это некоммутативность произведения, второе состоит в том, что может оказаться равным нулю произведение двух операторов даже тогда, когда ни один из них не равен нулю (ненулевой оператор, произведение которого с некоторым ненулевым оператором равно нулю, называется делителем нуля). Необходимость учитывать эти свойства часто приводит к путаницам, в частности в обозначениях (например, – этоили, и т.д.).

К счастью, у линейного оператора есть и «хорошие» свойства, например, если оператор A обладает хотя бы одним из свойств:

1) если , то;

2)  .

Если A обладает обоими этими свойствами, то говорят, что A – обратим. Обратный к A оператор обозначается символом .

Теорема. Если A, B, C – линейные операторы, такие, что , тоA обратим и , то есть

.

Перейдем к количественной характеристике линейных операторов.

Пусть базис вL и A линейный оператор в нем. В результате действия оператора на базисные векторы получаются новые векторы , которые также образуют базис:

, .

Предположим, что векторы нового базиса выражаются

через векторы старого базиса как

, . (VI.3)

Полученная система линейных алгебраических уравнений (VI.3) очевидно удовлетворяет условиям линейности (VI.1).

Особенностью этих преобразований является линейность функций, связывающих старые и новые базисные векторы. Коэффициенты определяют матрицу, называемую матрицей линейного оператора.

Таким образом, в базисе каждому линейному оператору соответствует определенная матрица и обратно, каждой матрице отвечает некоторый линейный оператор, определяемый формулой (VI.3). Матричное исчисление для изучения линейных операторов в конечномерных векторных пространствах является наиболее удобным алгебраическим аппаратом, конечно, если матрицы согласованы.

Умение находить сумму и произведение операторов, позволяет получать результат возведения оператора в любую степень, найти любой полином от оператора A, как

.

Оператором, обратным к A, называется оператор , такой, что выполняется

.

Вырожденным операторам, не имеющим обратного, соответствуют особые (вырожденные) матрицы, определители которых равны 0.

Пример VI.2. Определить, для каких матриц существуют обратные:

, ,.

Решение 1. Вычислим ранги ,, матриц. Получим по порядку,,.

Решение 2. Вычислим определители матриц: ,.

Таким образом, невырожденной матрицей является первая матрица .

Тот факт, что множество всех линейных операторов образует векторное пространство, далеко не единственное достоинство операторов. Например, из последнего следует, что для них вполне удовлетворительно определено умножение (см алгебру матриц).