§ 3. Подпространства

Линейные пространства изучают не только отношения между элементами, но и прямые, плоскости и другие линейные аналоги геометрических образов.

Определение. Непустое множество M линейного пространства L называется подпространством или линейным многообразием 11, если из принадлежности следует, что ему принадлежат все линейные комбинации.

Последнее означает, что с любым элементом оно содержит и элемент, то есть нулевой элемент_. Поэтому, говоря о подпространствах (прямых, плоскостях и т.д.), следует иметь в виду, что все они содержат нуль-вектор или проходят через начало координатной системы, если таковая введена.

Следовательно, любое подпространство является пространством.

Очевидными примерами подпространства являются само пространство L и множества О, состоящее из одного элемента {} или начала.

Пример III.12. Выберем в трехмерном линейном пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора и приведем их к общему началу (рис. III.1), которое обозначили через O.

Рис. III.1

Из определения подпространства следует, что пространство есть объединение подпространствис базисамиисоответственно. Ясно, чтои, где множествосодержит один элемент– нуль-вектор. Из рисунка видно, чтоявляется объединением плоскости и прямой l. Приведение к общему началу позволяет ввести прямоугольную координатную систему с заданным масштабом и направлением.

§ 4. Прямые суммы

Пусть илинейные пространства над одним и тем же числовым полемR. Их прямой суммой называется линейное пространство , элементами которого являются всевозможные пары элементов, где,, а линейные операции определяются формулой

.

Множество всех элементов вида ,0 образует в подпространство, соответствие,0показывает, что это подпространство изоморфно, а0, – .

Какова связь между и, если их рассматривать как подпространства?

Теорема III.5. Если иподпространства линейного пространства, то следующие условия эквивалентны

1) ;

2) Ơ, где Ơ={0} – нуль-пространство и (то естьидополняют друг друга);

3) любой элемент изможно записать как, где,(рис.III.2).

Рис. III.2

Теорема III.6. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей ее слагаемых.

Следствие. Любое подпространство конечного линейного пространства обладает дополнением.

Пример III.13. Пусть элементы ,,,принадлежат, аиподпространства такие, что,.

Проверить равенство , если

а) ,,,;

б) ,,,.

Имеем или

.

По правилу сложения координат получили а) . Приравнивая соответствующие координаты правой и левой частей последнего равенства, получим систему уравнений, решение которой имеет вид:, то есть элементы линейно независимые. Рассматривая пары,, получаем ,. Таким образом, равенствоверно.

Аналогичные вычисления для случая б) дают ,, то есть элементы линейно зависимые,.

Докажем теорему (о размерности пространства), используя разложение пространства в прямую сумму подпространств.

Теорема III.7. Все базисы n-мерного линейного пространства состоят изn элементов.

Доказательство. Рассмотрим n-мерное линейное пространство ,. Доказательство проведем методом математической индукции.

При число базисных векторов равно 0, что следует из определения линейной комбинации. Причисло базисных элементовравно. Любой другой элемент получается умножением базисного на число, то есть, следовательно, базис одномерного линейного пространства (прямая) состоит из одного элемента.

Предположим, что n-мерное линейное пространство состоит изn базисных элементов. Докажем, что n+1-мерное линейное пространство состоит из (n+1) базисного элемента. В самом деле, представим (n+1)-мерное пространство в виде прямой суммы подпространств, где– одномерное линейное пространство, что возможно в силу предыдущей теоремы. Любой элемент пространстваполучается умножением базисных элементовна число,,. В силу свойств прямой суммы получаем, что любой базис пространствасостоит изn+1 элемента и число базисов в любом линейном пространстве бесконечно ▼.

Замечание. Между прочим, доказательство по индукции можно было начинать с , не акцентируя внимание на.

Замечание. Из теоремы, в силу метода индукции, следует, что потенциально любое линейное пространство содержит столько базисных векторов, какова его размерность.

Пример III.14. Рассмотрим три единичных взаимно перпендикулярных вектора ,,. С точностью до изоморфизма возможно разложение в прямую суммупо базисным векторам длялюбой из, для– любая пара ,. Аналогично можно составить базис бесконечномерного пространства.