- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
§ 3. Проекция вектора на ось
Прямая с заданной на ней точкой и единичным базисным вектором называетсяосью.
Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку А.
Пусть в пространстве задана направленная прямая l. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра, опущенного из точкиМ на ось. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М (рис. IV.4).
Рис. IV.4
Пусть – произвольный вектор.Проекцией вектора на осьl называется координата вектора относительно единичного вектораоси, гдеА1 и В1 – проекции точек A и B на ось l, то есть если , то число называется проекцией вектора на осьl, в направлении . Обозначение для проекции:.
Из правил сложения векторов и умножения вектора на число, заданных своими координатами, следует, что:
, где .
Легко показать, что , где – угол между векторами и, отсчитываемый по правилам тригонометрии: от векторапротив часовой стрелки до вектора.
Следует помнить: проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.
Действия над векторами, заданными проекциями, выполняются аналогично действиям над матрицей-строкой (матрицей-столбцом).
Рассмотрим 3-х мерное линейное пространство L и (рис.IV.5). Введем декартову систему координат Oxyz. Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов,,:
. (IV.1)
Проекцией вектора на осьOx называется величина направленного отрезка и записывается.
Так как, по определению, , то если – угол между осью Ox и вектором , то
. (IV.2)
Аналогично определяются проекции вектора на другие оси.
Рис. IV.5.
Сопоставляя (IV.1) и (IV.2) и учитывая, что проекция есть направленный отрезок (если , то), то
, ,.
Заметим, что , получаем
, ,. (IV.3)
, , называются направляющими косинусами. Возводя в квадрат и складывая, получим
,
то есть сумма квадратов направляемых косинусов равна 1:
. (IV.4)
Пусть углы вектора с осями Ox, Оу, Оz соответственно равны , , . По свойству проекции вектора на ось имеем:
, , .
или, что то же самое:
, , . (IV.5)
Числа , , называются направляющими косинусами вектора ().
Линейные свойства проекции вектора на ось
Пусть дана ось Ox и векторы и :
, .
Тогда, как следует из свойств сложения векторов, имеем
1) ;
2) , .
Отсюда, как следует из (IV.2), получаем
a) ;
b) .
Координаты вектора
Найдем координаты вектора , если известны координаты точек и . Имеем:
.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.
Зададим в пространстве декартову систему координат Oxyz и вектор , где координаты точек , .
Проекция вектора на ось Ox (рис. IV.6) определяется
. (IV.6)
Рис. IV.6.
Тригонометрическая формула (IV.6) устанавливает связь между геометрическим образом отрезка и его проекцией на ось Ox, которая в алгебраической форме имеет вид
. (IV.7)
Знак правой части в (IV.7) определяется , для . Таким образом,
, (IV.8 а)
, (IV.8 б)
. (IV.8 в)
Для нахождения длины отрезка воспользуемся теоремой Пифагора, получим
. (IV.9)