Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы плоскость  и прямаяl . Найдем угол между ними. Угол между прямой и плоскостью совпадает со смежным углом к углу образованным направляющим векторомпрямой и нормальным вектором плоскости(рис.V.10). Так как , то

. (V.16)

Рис. V.10

Угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости : и :. Найдем угол между этими плоскостями, который совпадает с углом между их нормальными векторамии.

Учитывая, что

,

получим

. (V.17)

Пример V.17. Даны координаты вершин пирамиды ,,,. Найти: 1) длины реберАВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение высоты пирамиды, опущенной на грань АВС. Сделать чертеж.

Решение.

1. Длина ребра AB совпадает с длиной вектора , поэтому определим координаты векторови.

, .

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть

, .

1. Угол между ребрами AB и AC совпадает с углом между векторами и, который можно определить по формуле

, .

2. Грань ABC представляет собой треугольник, его площадь найдем через векторное произведение:

,

так как

.

3. Объем пирамиды вычислим по формуле:

.

Здесь .

4. Уравнение прямой, проходящей через точки А, В, имеет вид:

, то есть, .

5. Уравнение плоскости ABC определим из равенства

, или

.

6. Так как высота – это прямая перпендикулярная плоскости ABC, ее направляющим вектором будет вектор-нормаль плоскостиABC, тогда уравнение высоты имеет вид:

.

Выполним чертеж (рис. V.11).

Рис. V.11

VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор

В линейной алгебре, помимо векторных пространств, фундаментальное значение имеют линейные операторы (или линейные преобразования) 1, 7, 11.

Как общее понятие, оператор – отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой (системой аксиом, отношением порядка, алгебраической операцией и т.д.). Аналогом оператора в математическом анализе является функция.

Современное определение линейного оператора A принадлежит Дж. Пеано для векторных пространств с основным полем R действительных чисел, с областью определения и областью значений в L.

Отметим, что при использовании современной вычислительной техники (кластеров, вычислительных систем, нейронных систем) эффективность параллельных программ существенно повышается, если представленные для решения задачи записаны в векторной (операторной) форме.

Поскольку линейный оператор рассматривается как отображение ,или как функция, то в дальнейшем, векторы будем обозначать малыми буквамиx, y, …, возможно с индексами, .

Определение. Линейным оператором A на векторном пространстве L называется линейное преобразование одного вектора в другой из того же пространства, так что выполняются свойства линейности

,

, (VI.1)

что эквивалентно линейной комбинации,

, . (VI.2)

Из (VI.1) следует, что среди линейных операторов существуют:

а) нулевой, , то есть такой, что,, где 0 – нулевой вектор;

б) единичный (тождественный) , то есть такой, что;

в) подобия , то есть такой, что ,

отсюда следует, что при получаем нулевой оператор, а притождественный.

Из (VI.2) следует, что , где,. Область значенийоператораA является подпространством, в частности множество векторов , таких что– подпространство.

Множество называетсяядром оператора A, а размерность ядра называется дефектом оператора A.

Пример VI.1. Пусть в векторном пространстве L задан базис. Оператор A ставит в соответствие каждому вектору x его координату с фиксированным номером. Доказать, что A – линейный оператор.

Доказательство. Пусть ,, тогда, например,,, покажем, что

, .

В самом деле, имеем из (VI.2),

. ▼