Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

чего в силу (1.5.4) быть не может. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теперь приступим к изучению связей между такими свойствами функций, как непрерывность и монотонность, поскольку монотонные функции представляют собой класс функций, обладающих специфическими, «хорошими», свойствами. Так, например, мы видели, что всякая непрерывная функция принимает на отрезке любое из значений, заключённых между наибольшим и наименьшим значениями f . Обратное утвер-

ждение, однако, далеко не всегда справедливо: если мы рассмотрим функцию

x, x [0;1]; f (x) =

x −1, x (0; 2],

график которой имеет вид:

то она, будучи разрывной, тем не менее принимает любое значение между f (0) =0 и f (2) =1. Но если от f потребовать монотонности, то картина

меняется.

81

Теорема 1.5.9. Если f монотонна на отрезке [a; b] и принимает

любое значение между наибольшим и наименьшим, то она непрерывна на

[a; b] .

Доказательство. Положим для определённости, что f монотонно

возрастает, т. е. x1 <x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) . Тогда f (a) – её наименьшее, а f (b)

– наибольшее значения на [a; b] , т. е. f ограничена на [a; b] .

Пусть x0 [a; b], тогда, в силу монотонности и ограниченности, су-

Теорема 1.5.10. Если f строго монотонна на [a; b] , то у неё существует обратная функция, также строго монотонная. Если, кроме того,

и f −1 ( y) =x , т. е. обратная функция принимает любое значение x [a; b] , откуда следует её непрерывность. Теорема доказана.

Непрерывность элементарных функций.

Напомним, что к элементарным функциям мы относим степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Непрерывность тригонометрических и обратных тригонометрических функций на их области определения почти очевидна. Например, если f (x) =sin x , то

82

откуда следует, что для любого ε>0 достаточно взять δ=ε, чтобы выпол-

на и строго монотонна на [−1;1] .

Гораздо сложнее дело обстоит с показательными и степенными функциями. Дело в том, что в школьном курсе математики нет определения того, чтό понимать, например, под функцией y =ax , a >0, a ≠1, если х –

любое действительное число. Точнее, как понимать значение ax , если х – иррациональное число. Отметим здесь, что если х – иррациональное число, то оно может быть представлено как предел последовательности рацио-

нальных чисел: x =lim rn . Поскольку возводить число в рациональную сте-

n

пень мы умеем, то по определению будем полагать ax =lim arn .

n

Разумеется, нужно показать, что, во-первых, этот предел существует и, во-вторых, что он не зависит от выбора последовательности rn , сходящейся к х. После этого уже можно доказать строгую монотонность и непрерывность y =ax , а потом легко исследовать и непрерывность loga x .

Для того чтобы строго реализовать этот путь, потребуется достаточно много работы, поэтому мы без доказательства примем тот факт, что все элементарные функции непрерывны в любой точки области их определения.

Подробно о непрерывности элементарных функций можно прочитать в любом достаточно полном учебнике по математическому анализу, например, в книгах [1], [2].

83

имеет как левый, так и правый конечные пределы, причём они различны. Следовательно, x = 4 является точкой разрыва I рода – точкой скачка. Скачок функции в этой точке равен π .

функция при x = 4 не имеет ни левого, ни правого конечного пределов. Следовательно, x = 4 является точкой разрыва II рода.

4. Найти точки разрыва функций и определить характер разрыва:

21/(x−2) −1 а) f (x) = 21/(x−2) +1 ;

84

5. Доказать, что если в определении предела функции f в точке x0 (в смысле Коши или Гейне) отбросить условие x ≠ x0 , то мы получим определение непрерывности функции f в точке x0 .

6*. Доказать, что если функции f и g непрерывны, то и функции max{f , g} и min{f , g} также непрерывны.

7*. Показать, что для функции f , непрерывной на [a,b], и любых точек x1 , x2 ,...,xn из [a,b], существует такая точка x0 [a,b], в которой

8. Исследовать на равномерную непрерывность на заданных множествах:

Решение. а) Докажем, что функция не является равномерно непрерывной на множестве. Для этого достаточно установить истинность утверждения

ε > 0 δ > 0 x1 , x2 D :| x1 − x2 |< δ | ln x1 −ln x2 |≥ ε.

85

Ответы. 4. а) 2 – точка разрыва I рода; б) 1 и 5 – точки разрыва II рода; в) 1 – точки разрыва II рода; г) 3 – точка разрыва I рода, 5 – точка разрыва II рода; д) -2 и -3 – точки разрыва II рода, -1 – точка устранимого разрыва; е) -1 и 1 – точки разрыва II рода, 0 – точка устранимого разрыва; ж) - 1 – точка разрыва II рода, 0 и 1 – точки устранимого разрыва; з) 0 – точка устранимого разрыва; и) Z – множество точек разрыва I рода; к) Z – множество точек разрыва I рода; л) Z\{0} – множество точек разрыва II рода. 8. б) равномерно непрерывна; в) не является равномерно непрерывной; г) равномерно непрерывна; д) не является равномерно непрерывной; е) не является равномерно непрерывной. 9. Да.

86

1.6. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.

Рассмотрим несколько задач, приводящих к понятию производной функции в точке.

Задача 1. Пусть вдоль оси S движется прямолинейно некоторая точка и пусть в любой момент времени t мы можем найти её координату s(t) на

оси S (т. е. измерить путь, пройденный от начала движения к моменту t).

представляет собой среднюю скорость точки на временном промежутке [t; t + t] . Ясно, что эта характеристика движения тем точнее, чем короче

временной промежуток.

Если существует конечный предел

s(tt) =v(t) ,

то он называется скоростью точки в момент времени t.

Задача 2. Пусть задан прямолинейный стержень с переменной плотностью материала, из которого он изготовлен; толщиной стержня будем

представляет собой среднюю плотность вещества стержня. Если существует конечный предел

Mx(x) =ρ(x) ,

то этот предел называется плотностью (линейной) стержня в точке х.

Мы видим, что в обеих задачах нам пришлось рассматривать предел

вида

f (x0 + x) − f (x0 ) . x

Рассмотрим его геометрический смысл, который не будет зависеть от физической сущности функции f .

87

Определение касательной к графику функции.

Пусть хотя бы в окрестности Uδ (x0 ) точки x0 определена функция f . Запишем уравнение прямой, проходящей через точку (x0 , f (x0 )):

y = f (x0 ) +k (x −x0 ) , k – угловой коэффициент.

Эта прямая называется касательной к графику функции f в точке x0 , если для всех x Uδ (x0 ) имеет место (см. рисунок):

f (x) − y = f (x) −( f (x0 ) +k(x −x0 )) =o(x −x0 ) ,

или, что то же самое,

f (x) − f (x0 ) =k (x −x0 ) +o(x −x0 ) .

Поделив обе части равенства на x −x0 , получим:

Поскольку второе слагаемое в выражении, стоящем справа, имеет предел, равный нулю при x −x0 →0 , то мы видим, что касательная прямая

существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел

f (x) − f (x0 ) =k . x −x0

Заметим, что этот предел будет угловым коэффициентом касательной.

Определение производной функции в точке.

Пусть f определена в Uδ (x0 ) и существует конечный предел

89

и, соответственно, f / (x0 ) есть угловой коэффициент касательной или, что то же самое, f / (x0 ) – тангенс угла наклона касательной в точке (x0 , f (x0 )) . Этот факт называется геометрическим смыслом производной.

Очевидно, производная функции существует тогда и только тогда, когда существуют и равны её односторонние производные.

Дифференциал функции. Пусть по-прежнему f определена в

Uδ (x0 ) .

Определение 1.6.1. Если существует такое число L , что для любого

зывается её дифференциалом в точке x0 , вычисленным при приращении аргумента, равном x .

Очевидно, что ноль есть величина более высокого порядка малости, чем

дифференциала функции f записывают в следующей форме: df (x0 ) =L dx .

Пример. Пусть f (x) =x3 . Найдём df (x0 ) :

f (x0 ) =(x0 +dx)3 −x03 =x03 +3x02 dx +3x0 (dx)2 −x03 =3x02 dx +3x0 (dx)2 .

Очевидно, 3x0 (dx)2 =o(dx) , следовательно, f дифференцируема, L =3x02 и

df (x0 ) =3x02 dx .

Однако, такой способ (основывающийся только на определении), очевидно, не годится для достаточно сложных функций. Поэтому встаёт задача: во-первых, выяснить условия, при которых дифференциал f суще-

ствует, во-вторых, найти формулу для его вычисления.

90