Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

3.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

грешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти e с тремя верными цифрами.

24. Пользуясь приближённой формулой ex ≈1+x + x22 , найти 41e и

оценить погрешность.

25. Проверить, что для углов, меньших 280 , погрешность, которая получится, если вместо sin x взять выражение x − x33! + x55! будет меньше

0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 200 с шестью верными цифрами. 26. Найти cos100 с точностью до 0,001. Убедиться в том, что для

достижения указанной точности достаточно взять соответствующую формулу Тейлора 2-го порядка.

Задачи на отыскание наибольших

инаименьших значений функций

27.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

28.Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

29.Объём правильной треугольной призмы равен v. Какой должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

30.Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объёме v каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

31.Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объёме наименьшую полную поверхность.

32.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим.

33.Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

34.Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

Физический смысл производной

35. Точка движется по прямой так, что расстояние s от начального пункта через t с равно s =14t 4 −4t3 +16t 2 . В какие моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты её скорость равна нулю?

141

36.Угол α поворота шкива в зависимости от времени t задан функцией α=t 2 +3t −5 . Найти угловую скорость при t=5 c.

37.Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t =0 , даётся формулой

Q =2t 2 +3t +1 (Кл).

Найти силу тока в конце пятой секунды.

38.Прямолинейное движение происходит в соответствии с формулой s =t 2 −4t +1. Найти скорость и ускорение движения.

39.Точка движется прямолинейно, причём s =92sin π2t +s0 . Найти ус-

корение в конце первой секунды.

40. Точка движется прямолинейно, причём s = t . Показать, что движение замедленное и что ускорение пропорционально кубу скорости.

ОТВЕТЫ

Группа А

1. 1) 56; 2) 19; 3) 7,625; 4) 1,261. 2. 1) 4,52; 2) –0,249; 3) 0,245.

3. 1) 6,5; 2) 6,1; 3) 6,01; 4) 6,001. 4. −2/ x3 . 5. y/ =2 (33

x) .

6. 6x2 +10x −7 . 7. ctg2 x . 8. 6x −5 . 9. 6x2 −10x +7 . 10. −21/ x4 . 11. 3

12.

x (1−x2 )2 . 13. 24x2 (2x3 +5)3 . 14. 5(15x2 +2x)(5x3 +x2 −4)4 .

5(x2 +2x −1)(1+x

2 )4

15.

6 14x +

−

. 16.

(1+x)6

17. −

1−x

18.

3,5x2 x −1+

. 19. 4x3 −3x2 −8x +9 .

20.

7x6 −10x4 +8x3 −12x2 +4x +3. 21. 1+12x +93 x2 +10x3 x +36x3

33 x2

22.

1−x2

23.

−

6x2

. 24. −

6x2

. 25. 1+2x +3x2 −2x3 −x4 .

(1+x2 )2

(x3 +1)2

(x3 −1)2

(1+x3 )2

26.

−

4(2x −1)

. 27.

3−x

. 28.

2x3 +4x7

. 29. u/ (1) =9 .

(x2 −x +1)3

2 (1−x)3

(1−x4 −x8 )3

x .

30.u/ (2) =−1 3 . 31. 0. 32. cos x −sin x . 33. x −sin x cos x . 34. −sin 2x .

x2 cos2 x

35.2cos(2x +3) . 36. −cos(1/ x) . 37. cos(sin x)cos x . 38. −12cos2 4x sin 4x .

39.

. 40.

−

4 tg(x/ 2) cos2 (x/ 2)

3sin 2 3 1+x2 3 (1+x2 )2

41.

−3sin 3x sin(2cos 3x) . 42.

arcsin x +

. 43.

arctg x

1−x2

2 x

1+x2

142

44.

−

+arccos x

1−x2

. 45. −

. 46. −

2arctg(1/ x)

1−x2

x2 −4

1+x2

47.

2x −3

. 48.

3sin 2x (cos x −2) .

1+(x2 −3x +

2)2

49.

1ctg

sin

−

1 sin 2

cosec2

. 50.

cos x

. 51.

2 sin x −sin 2

2 3x −

9x2

52.

−

. 53.

2ln x . 54. 2xlog3 x +

. 55.

ln x +1 . 56.

2 1−x2

ln 3

2x ln x

ln10

57.

. 58. 1+x2 −2x2 ln x .

59.

ln x

60. ctg x . 61.

x2 +5

x 1+ln2

(x2

−1)ln 3

x(1+x2 )2

62.

−

. 63.

. 64. 10x ln10 .

arccos 2x

1−4x2

(3x +5)[1+ln2 (3x +

5)]

65.

10x (1+xln10) . 66. ex (1+x) . 67. ex (cos x −sin x) . 68.

ex (x −1)2 .

(x2 +1)2

69.

x+1

. 70. 3sin x cos x ln 3 . 71.

2earcsin 2 x

. 72. 3sh 2 x ch x . 73. th x .

x +1

1−4x2

74.

. 75. sh(sh x)ch x . 76. xch x . 77. arcsin(ln x) +

ch 2x

1−ln2 x

1−cos x

(cos x −sin x)(ex +e−x )

78.

ln10 . 79. e

(1+xsin x) . 80.

ex cos x +e−x sin x

ln(1+sin x)

ex arctg x

81.

sin 2 x

. 82.

ln5 x

1+x +

−

. 85.

(2ln x +1) .

(1+x2 )arctg x

ln x

cos x cos

2 x

86.

(ln x)

+ln ln x

. 87.

(sin x)

sin x

−sin x ln sin x .

ln x

ln(x +1)

88.

(x +1)

−

. 89. 2x

ln x−1

ln x . 90. x

(1/ x)−2

(1−ln x) .

x(x +1)

sin x

x x

91.

cos x ln x +

. 92.

+ln

x +1

2xsin x

x +1

93.

sin x

+cos x ln(x

+1)

+1) .

4ctg(x/ 2)

ln tg 2x

94.

(tg 2x)ctg( x/2)

sin 4x

−

. 95.

x2ex

sin 2x(3+2x2 +2xctg 2x) .

2sin 2 (x/ 2)

96.

−

2(x −2)(x2

+11x +1)

. 97.

57x2 −302x +361

(x +1)2 4

x −2

3(x −5)4 3

(x +1)2

20(x −2)(x −3)

5 (x −

3)2

143

98.

1− y

−arcsin y

cos ln x

99.

101.

−

(1+x4 )

;

3(s

−

. 102.

. 103.

1−22s ;

ctg t . 104.

1+ y2 .

(1− y)3 (1+ y)5

2 −4

2s ln 2

ln 2

105.

(0, 0), (1,1), (2, 0) . 107. (1, 0), (−1,−4) . 108. y =2x −2 , y =2x +2 .

109.

3x + y +6 =0 . 110. 2x − y +1=0 . 112. x +25y =0 , x + y =0 . 113. (0,1) . 115.

1) ϕ=0 ; 2) ϕ=arctg18

; 3) ϕ=arctg(2

2) . 116.

y =1,461, dy =1,4 .

117.

y =0,1012 ,

dy =0,1;

=0,9880 .

118.

y =1,91;

dy =1,9 ;

y −dy =0,01;

y −dy

=0,0052 . 119.

y =0,1; dy =0,1025 ;

y −dy =−0,0025;

y −dy

=−0,025. 120.

0,125

dx ; 2)

−

4dx

; 3)

; 4) −

pln q

dx ;

2(a +b)

5) −

(m +n)dx

; 6) −

6x2 dx

; 7)

2tg x

dx ; 8) (x2 −1)sin x +2xcos x dx ;

2x x

(x3 −1)2

cos2 x

(1−x2 )2

2arctg x

1+x

dx ; 10)

−

arcsin x

1−x2

1+x2

121.

y ≈0,00025 ; sin 300 1/ =0,50025 . 122. 0,00582 . 124. 0,995 .

125.

arctg1,02 ≈0,795 ; arctg 0,97 ≈0,770 . 126. 0,355 . 127. 0,52164 .

128. 1)

ds =−

sin t 2 −1dt ; 2)

dz =−ds

; 3)

ds =

(4u −3)du

; 4)

dy =−

2ds

2u2 −3u +1

cos 2s

129. 1)

x2 −18x +9 y =0 ; 2) y2 =4x2 (1−x2 ) ; 3)

y3 =(x −1)2 ; 4) y =

2(1+x −x2 )

1+x2

130. 1) t =(2k +1)π; 2) t =1; 3) t =

π+πk ; 4) t1 =1, t2 =−1. 131. −b ctg ϕ.

132.

−b tg ϕ. 133. ctg

ϕ .

134.

3t 2 −1 . 135. −1. 136.

. 137.

cos ϕ−ϕsin ϕ

1−sin ϕ−ϕcos ϕ

138.

1+t 2

. 139.

1−tg t

. 140.

t(2 −t3 )

. 141. x +2 y −4 =0 .

t(2 +3t −t3 )

1+tg t

1−2t3

142.

4x +2 y −3=0 . 143.

y =2 . 144.

4x +3y −12a =0 . 145. 1) Кривые пересе-

каются в двух точках под углами α1

=α2 =arctg

41 ≈870 12/ . 2) Кривые пере-

секаются в трёх точках под углами α1 =α2 =300

и α3 =00 . 146. 2.

147.

−24x . 148. 207360. 149. 360. 150. 6(5x4 +6x2 +1) . 151. 4sin 2x .

152.

4/e . 153. −1/ 2 . 154.

. 155. 6/ x . 156. aneax . 157. (−1)n e−x .

(1−x)6

158.

ex (x +n) .

159.

(−1)n (n −2)!

( n≥2 ). 160.

(−1)n an n!

xn−1

(ax

+b)n+1

144

161.	(−1)n−1 an (n −1)!	. 166.	−	2dx2		. 167. m(m−1)(m−2) xm−3dx3 .
	(ax +b)n			9x3	x

168.	4(x +1)(5x2 −2x −1)dx2 . 169. 4−x2 2ln 4 (2x2 ln 4 −1) dx2 .
170.	ab(a2 −b2 )sin 2x dx2		. 171.		4ln x −4		−ln3 x	dx2	. 172.	−4sin 2x dx3 .
	(a2 cos2 x +b2 sin 2 x)2				x2 (ln2		x −4)3

176.	a(1−ln a) −b(1−ln b) =(b−a)ln ξ, где a <ξ<b .
180.	(x −4)4 +11(x −4)3 +37(x −4)2 +21(x −4) −56 .								181.	(x +1)3 −5(x +1) +8 .

182.(x −1)10 +10(x −1)9 +45(x −1)8 +120(x −1)7 +210(x −1)6 +249(x −1)5 + +195(x −1)4 +90(x −1)3 +15(x −1)2 −5(x −1) −1.

183.x6 −9x5 +30 x4 −45x3 +30 x2 −9x +1.

184. −1−(x +1) −(x +1)3 −...−(x +1)n +(−1)n+1	(x +1)n+1	, где 0	<θ<1.
	[−1+θ(x +1)]n+2

185.x + x12 + x23! +...+(nx−n1)!+(nx+n+11)!(θx +n +1)eθx , где 0<θ<1.

186.2 + x −4 −(x −4)2 +(x −4)3 −...+(−1)n−1 (2n −2)!(x −4)n + 4 64 512 n!(n −1)! 24n−2

(−1)n (2n)!(x −4)n+1

, где 0<θ<1.

22n+1 n!(n +1)!

[4 +θ(x −4)]2n+1

187.

(x −1) +

(x −1)2 ++11(x −1)3 +

(x −1)4 +...+

(−1)n 6(x −1)n

(n −3)(n −2)(n −1)n

(−1)n+1 6(x −1)n+1

, где 0<θ<1.

(n −2)(n −1)n(n +1)[1+θ(x −1)]n−2

188.

2 −(x −2) +(x −2)2 −(x −2)

3 +

(x −2)

, где 0<θ<1.

[1+θ(x −

2)]5

189.x + x3 1+2sin3 θx , где 0<θ<1. 3 cos4 θx

190.x + x3 + x4 9θx +6θ3 x3 , где 0<θ<1.

6 4 (1−θ2 x2 )7/2

191.	1−	1	(x −1) +	1 3	(x −1)2 −1 3 5	(x −1)3 +1 3 5 7		(x −1)4	, 0<θ<1.
				22 2			[1+θ(x −1)]9
		2			23 3!	24 4!
192.	f (x) =1−6(x −1) +(x −1)2 +... ;					f (1,03) =0,82 .
193.	f (x) =321+1087(x −2) +1648(x −2)2 +...; f (2,02)							≈343,4 ;
f (1,97)		≈	289,9 . 194.		f (x) =1+60(x −1) +2570(x −1)2 +.			..; f (1,005) ≈1,364 .

195. 3/5. 196. 2. 197. 2/3. 198. 1/3. 199. 0,18. 200. 18. 201. 1. 202. 0. 203. 1/2. 204. ∞. 205. 0. 206. 1/ π. 207. 1. 208. 0. 209. −1/ 2 . 210. ( p −q)/ 2 . 211. 2/3.

212. 1. 213. e−6 . 214. 2. 215. e1/3 . 216. 1. 217. eπ .	222. (−∞; −1/ 2)	возрастает,
(−1/ 2,11/18) убывает, (11/18; +∞) возрастает.	223. (−∞; −1)	возрастает,

145


(−1;1)	убывает, (1; +∞)	возрастает. 224. (−∞; 0) убывает, (0;1/ 2) убывает,
(1/2;1)	возрастает, (1; +∞)		убывает. 225. (−∞; 0) возрастает, (0; +∞)	убы-
вает. 226. (−∞; 0) убывает,			(0; 2) возрастает, (2; +∞) убывает. 227.	(0;1)
убывает, (1; e) убывает,		(e; +∞) возрастает. 228. (0;1/ 2) убывает, (1/ 2; +∞)
возрастает. 229. (0, π/3)		убывает, (π/3; 5π/3) возрастает, (5π/3; 2π) убыва-
ет. 230. (0; π/6) возрастает, (π/6; π/2) убывает, (π/ 2; 5π/6) возрастает,

(5π/6; 3π/ 2) убывает, (3π/2; 2π) возрастает. 231. Монотонно возрастает.

232. Монотонно возрастает. 233. ymax =0 при x =0 , ymin =−1 при x =1.
234. ymax =17	при x =−1,	ymin =−47	при	x =3 .	235.	ymax =4 при	x =0 ,
ymin =8/3 при	x =−2 . 236.	ymax =0	при	x =0 .	237.	ymax = 205 10	при

x =12/5. 238. ymin =0 при x =0 . 239. Монотонно возрастает. 240. ymax =2, 5

при x =1, ymin =e(4 −e)/2 ≈1, 76 при x =e . 241. 13 и 4. 242. 8 и 0. 243. 2 и −10 . 244. 2 и −12 . 245. 3/5 и −1. 246. π/ 2 и −π/ 2 . 247. Наибольшее зна-

чение равно 1, наименьшего нет. 248. π/ 4 и 0. 255.					ymax =4a3 27 при
x =a/3, ymin =0 при x =a . 256. ymax =a4 16 при x =a/ 2 ,					ymin =0 при x =0 и
x =a . 257.		ymax =−2a при x =−a , ymin =2a при x =a . 258. ymax =5/ 4 при
x =3/ 4 . 259. ymax =1 при				x =1, ymin =−1 при x =−1. 260.	ymin =1 при x =0 .
261.	ymax =4	e2	при x =2 ,	ymin =0 при x =0 . 262. ymin =e при x =e .
263.	ymax =e	e	при x =e . 264. Точка перегиба (5/3; −250/27) . Интервалы:

выпуклости (−∞; 5/3) , вонутости (5/3; +∞) . 265. Точек перегиба нет, график вогнутый. 266. Точки перегиба (2; 62) и (4; 206) . Интервалы: выпуклости (2; 4) , вогнутости (−∞; 2) и (4; +∞) . 267. Точки перегиба (−3; 294) и (2; 114) . 268. Точка перегиба (1; −1) . Интервалы: выпуклости (−∞; 1) , во-

гнутости	(1; +∞) . 269. Точек перегиба нет,				график вогнутый. 270. Точка
		5 −1	, e	( 5−1) 2
перегиба	arcsin			.	Интервалы:	вогнутости
		2


		π		5 −1			5 −1		π
	−	2	, arcsin		, выпуклости arcsin			,	. 271.	Точки перегиба
							2
				2					2
(±1, ln 2). Интервалы:						выпуклости (−∞; −1) и (1; +∞) , вогнутости (−1;1) .

272.

Точка перегиба (1/ 2; earctg (1/2) ).

Интервалы: вогнутости (−∞; 1/2) , вы-

пуклости (1/2; +∞) . 277.

y =0 . 278.

x =−1/e ,

y =x +(1/e) . 279. x =0 , y =x .

280.

x =0 , y =x +3 . 281. y =2x ±π/ 2 .

Группа Б

cos x(2sin x +1) . 3.

2 x

4 x

. 2.

−5) .

3 x

146

4. 5tg

x(1+tg

x)(6tg

x +14tg

x −3) .

5. −

+1 .

3ln5 x

(8ln18 x −12ln12 x +5ln9

x −9ln3 x +2).

(x +1) −

2ln

−

33 ln(x +1)

x +1

ln3 (x +1)

8. 12sin x cos7 x(6

−cos4 x) −

4sin x

10. Непрерывна и дифференцируема.

cos x

11. Непрерывна, но не дифференцируема.

12.

f / (0) =0 . 13. Непрерывна,

но не дифференцируема. 14. Непрерывна, но не дифференцируема.

15. Непрерывна, но не дифференцируема.

16. 1)

(x2 −379)sin x −40 xcos x ;

sin

kπ

18.

(2n)

(0)

=0 ; y

(2n+1)

(0) =[1 3 5 ... (2n −1)]

. 20. Зна-

∑C

x +

k =0

чения xx

больше, чем значения ax xa .

23. 1,65.

24. 0,78, δ<0,01.

25. 0,342020.

26. 0,985. 27. 4 и 4. 28. 6 и 6. 29. 3

4v . 30. Радиус основания и

высота равны 3 v/ π . 31. H =2R . 32. 20 3 3 см. 33. 2R 3 3 . 34. 4R/3.

35. t1 =0, t2 =8; t1 =0, t2 =4, t3 =8 . 36. ω=13 рад/с. 37. 23 А.

38. v =2t −4, a =2 . 39. −π2

см/с.

147

Литература

1.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1, 2. М., «Наука», 1981.

2.Карташев А.П., Рожденственский Б.Л. Математический анализ. М., «Наука», 1984.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб., «Профессия», 2001.

148

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.2018288.77 Кб4We ОЭЗ.doc
#
17.12.2018226.82 Кб2WE Платежный баланс.doc
#
11.11.2019438.78 Кб4What Are Polymers 1st Edition.doc
#
12.03.2015822.78 Кб66XX1-33.doc
#
12.03.2015117.25 Кб5xyushke.doc
#
22.03.20163.78 Mб87Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an.pdf
#
12.03.2015890.37 Кб31Zadachi_srednie_2014_srednie.doc
#
12.03.20151.2 Mб12Zadachi_uslozhnyonnye_2014_80.doc
#
12.03.20154.31 Mб127Zaripov MJG.docx
#
23.05.20151.18 Mб38Zinnatullina_G_F_Posobie_2010.doc
#
10.11.2019626.69 Кб5zo.econ.audit_umk аудит.doc