Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

а) o(α2 ) = o(α) ;

б) α o(α) = o(α2 ) ;

71

в) o(α +α2 ) = o(α) ;

г) o2 (α) = o(α2 ) ;

д) o(α) + o(α) = o(α) .

Решение. а) Рассмотрим функцию ϕ(x) = o(α2 ) . Согласно определению символа «o» это означает, что существует такая функция ε(x) ,

ϕ(x) =α(x)[α(x)ε(x)] = o(α) .

Ответы. 1. б) -2; в) 2; д) +∞; е) 1/4; ж) –1/2; з) n; к) 0; л) 3x2 ; м) 6; н) 0. 2. б) 0; в) 1/2; г) –7/4; д) 2; е) 3/2; ж) 36 2 / 2 ; и) 3/5; к) 3; л) 1/6. 3. в) 1/π ; г) 3/4; д) 0; е) − 2 / 4 ; ж) 1; з) 25/16. 4. б) e10 ; в) e10 ; г); д) e3 ; е) 2; ж)

1/(a ln a) ; з) a-b; и) 1; к) 1/e. 6. б) 2/3; в) 1; г) 1/3; д) 1/2; е) 1/2.

72

1.5. Непрерывные функции.

Наиболее интересными для практики являются функции, «график которых можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». Действительно, если мы рассматриваем некоторый опыт, в котором, например, наблюдается изменение температуры со временем (температура есть функция времени), то температура не может изменяться скачкообразно: в любом случае она изменяется на некотором интервале времени, пусть и очень коротком. То же можно говорить о любой физически реализуемой функции, аргументом которой является время или любой другой аргумент, область изменения которого можно интерпретировать как числовой отрезок или интервал. То есть «разрывных» функций, зависящих от «непрерывно» меняющегося времени, в природе нет.

Однако для изучения явлений, в которых некоторые изменения могут происходить настолько быстро, что их длительностью можно пренебречь без ущерба для практики, вводят функции скачкообразные, ступенчатые, импульсные и т. п., «графики которых нельзя нарисовать, не отрывая

точке x0 =0 она не определена, но слева от x0 имеем f (x) ≡−1, а справа – f (x) ≡1. Ещё более разрывной является функция Дирихле:

рассмотренная выше.

Разумеется, эти функции – идеализация реальности, но эта идеализация очень удобна и нужна для изучения той же реальности.

В этом разделе мы дадим строгие определения функциям непрерывным и разрывным и подробно их изучим.

Определение 1.5.1. Пусть функция f определена хотя бы в окрестности точки x0 .

Функция f называется непрерывной в точке x0 , если

Если f определена хотя бы в левой (правой) полуокрестности точки

Из этих определений и теоремы 1.4.1 о связи односторонних пределов и предела функции в точке следует

73

Теорема 1.5.1. Пусть f определена хотя бы в окрестности Uδ (x0 ) , тогда f непрерывна в точке x0 в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа одновременно.

Функцию f будем называть разрывной в точке x0 , если не выполня-

ется хотя бы одно из условий (1.5.1).

Примем следующее соглашение: если f определена лишь в проколотой окрестности точки x0 (в проколотой полуокрестности точки x0 ), то её по определению будем считать разрывной в этой точке.

Например, f (x) =sinx x определена всюду, кроме точки x0 =0 . И хотя

lim sin x =1, эту функцию будем считать разрывной в точке x0 =0 . Также

x→0 x

разрывной в точке x0 =0 будем считать функцию f (x) =1x и т. д.

Словесное определение непрерывности в точке выглядит так: f не-

прерывна в точке x0 , если у неё в этой точке существует предел, равный значению f (x0 ) . Это предложение можно сформулировать «на языке Ко-

Как следует из теоремы об эквивалентности определений предела по Коши и Гейне, эти определения непрерывности эквивалентны, и мы будем их использовать в зависимости от удобства применения.

Определение разрыва функции в точке x0 , данное выше, позволяет ввести классификацию точек разрыва.

лено, либо lim f (x) ≠ f (x0 ) . В этом случае точка x0 называется точкой

x→x0

устранимого разрыва f .

74

Например, f (x) =sinx x , x0 =0 . В этом случае x0 – точка устранимого разрыва. Если же доопределить функцию в точке так:

то по-прежнему точка x0 =0 будет точкой устранимого разрыва. И только если

то функция становится непрерывной в точке x0 =0 .

нечного скачка f или точкой разрыва первого рода.

точке x0 не существует ни в конечном, ни в бесконечном смысле. Тогда x0

называют точкой разрыва второго рода функции f .

Для этого воспользуемся определением Гейне. Возьмём две последова-

таким образом, правостороннего предела f (впрочем, как легко догадаться, и левостороннего предела) не существует и x0 =0 – точка разрыва f второго рода.

75

Мы рассмотрели все возможные случаи, когда f терпит разрыв в точке x0 и, следовательно, полностью классифицировали точки разрыва.

Если f непрерывна в каждой точке какого-либо множества D R ,

то её называют непрерывной на D .

Из правил действия с пределами функций следует следующее утвер-

Теорема 1.5.2 (о непрерывности сложной функции). Если в окре-

стности точки x0 определена функция F(x) = f (g(x)) , при этом g непрерывна в точке x0 , а f непрерывна в точке y0 =g(x0 ) , то F непрерывна в точке x0 .

f (g(xn )) n→ f ( y0 ) , т. е. F(xn ) n→F(x0 ) , что и требовалось.

Теорема 1.5.3. (о сохранении знака непрерывной в точке функ-

ции). Если f непрерывна в точке x0 и f (x0 ) >0 ( f (x0 )<0 ), то найдётся

окрестность Uδ (x0 ) такая, что x Uδ (x0 ) f (x) >0 ( f (x) <0) .

Доказательство очевидным образом следует из теоремы о сохранении знака функцией, имеющей предел в точке x0 , поскольку в данном слу-

ϕ(x) ≡c непрерывна в любой точке, а тогда F непрерывна как разность непрерывных функций). Но F(x0 ) = f (x0 ) −c>0 , значит F(x) сохраняет знак в некоторой окрестности x0 и, следовательно, в этой окрестности f (x) >c .

Теперь рассмотрим несколько важнейших теорем, которые объединим общим названием.

76

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1.5.4 (Коши). О смене знака непрерывной функцией.

Пусть f непрерывна на отрезке [a, b] и при этом f (a) f (b) <0 , тогда найдётся точка ξ (a; b) такая, что f (ξ) =0 .

Доказательство. Пусть для определённости f (a)<0, f (b) >0 . Поделим отрезок [a, b] пополам точкой с. Возможны три случая:

1) f (c) =0 ; 2) f (c)<0 ; 3) f (c) >0 .

В первом случае с – искомая точка; во втором случае обозначим отрезок [c; b] через [a1 , b1 ]; в третьем случае обозначим через [a1 , b1 ] отрезок

[a; c].

Если f (c) ≠0 , то отрезок [a1 , b1 ] вновь поделим пополам и проведём

те же самые рассуждения, т. е. либо на этом шаге мы найдём точку ξ, либо построим отрезок [a2 , b2 ], на котором f меняет знак. Повторяя эту проце-

дуру, мы либо на конечном шаге найдём точку ξ такую, что f (ξ) =0 , либо будет построена система вложенных отрезков [ak , bk ] таких, что:

10. bk −ak =b2−ka k→0 ; 20. f (ak ) <0 ; 30. f (bk ) >0 .

По принципу Кантора существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам [ak , bk ] , при этом ak ↑ξ, bk ↓ξ. Но тогда из непрерывности f следует, что f (ak ) k→ f (ξ) , а из теоремы о предельном переходе в неравенствах f (ξ) ≤0 . По тем же причинам f (bk ) k→ f (ξ) и f (ξ) ≥0 . Таким образом f (ξ) =0 и ξ – искомая точка.

Замечание. Приведённое доказательство теоремы Коши интересно тем, что оно является конструктивным, т. е. даёт алгоритм, по которому с любой наперёд заданной точностью можно найти значение ξ. Этот алгоритм с успехом применяется на практике при решении уравнений f (x) =0

с непрерывной f : если нам известен отрезок, на котором f меняет знак, то, задавая точность ε>0 , с которой мы хотим вычислить ξ, строим по ука-

b + a

занному алгоритму последовательности ak , bk и полагаем ξ ≈ k 2 k , как только выполнится неравенство bk −ak <ε.

77

на [a; b] функция принимает любое значение, заключённое между двумя

любыми её значениями.

В дальнейшем нам понадобится одно свойство числовых последовательностей, которое сформулируем в виде леммы.

Лемма 1.5.5. Пусть xn – последовательность со значениями, лежащими в [a; b] , тогда из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит [a; b] .

Доказательство. Поскольку xn ограничена, существуют xnk и x0 такие, что xnk k→x0 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Пусть x0 [a; b],

например, x0 >b . Возьмём δ=x0 −b . Тогда Uδ (x0 )I[a; b]= , но с другой стороны nε nk >nε : xnk Uδ (x0 ) . Поскольку xnk [a; b], это противоречит тому, что Uδ (x0 )I[a; b]= , т. е. предположение x0 >b неверно. Аналогич-

78

Теорема 1.5.7 (вторая теорема Вейерштрасса).

Если f непрерывна на [a; b] , то она достигает своих нижней и верхней граней; иными словами, найдутся x1 , x2 [a; b] такие, что

Доказательство. Докажем достижение верхней грани. По первой теореме Вейерштрасса f ограничена сверху, а значит, существует

S = sup f (x) . Но тогда

x [a;b]

n N xn [a; b]: f (xn ) >S −1n

и при этом f (xn ) ≤S .

Вновь используя лемму 1.5.5, выделим xn k k → x0 [ a ; b ] . Тогда

лучим S ≤ f (x0 )≤S , т. е. f (x0 ) =S .

Таким образом, в точке x0 достигнута верхняя грань. Самостоятельно докажите, что достигается и нижняя грань f . Теорема доказана.

Вторая теорема Вейерштрасса имеет огромное значение как для теории, так и для практических приложений анализа: она доказывает, что непрерывная на отрезке функция имеет на нём наибольшее и наименьшее значения. Легко построить примеры, когда невыполнение одного из условий теоремы (того, что [a; b] – отрезок или то, что f непрерывна на нём)

приведёт к тому, что наибольшего или наименьшего значений у f не существует: f (x) =x на (0;1) имеет точные грани: inf f (x) =0 ; sup f (x) =1, но таких значений у f нет; а если

0, x =0 ; f (x) =

1 , x (0;1],

x

то на [0;1] f не имеет наибольшего значения в силу разрывности в точке x =0 .

Следствие к теореме 1.5.7. Непрерывная на отрезке функция принимает любое значение, заключённое между наибольшим и наименьшим. Иными словами, если f непрерывна на [a; b] , то множеством её значений

79

Доказательство следует из следствия к теореме 1.5.4, поскольку по

Это условие выражает следующее свойство f : в каком бы месте

множества D ни находились точки x и y, если они достаточно близки друг к другу, то и значения f в этих точках будут близки друг к другу на-

столько, насколько нам это нужно.

Легко видеть, что если f равномерно непрерывна на D , то она не-

прерывна в любой его точке. Действительно, если в условии (1.5.2) зафиксировать любую точку y D , то (1.5.2) станет условием непрерывности f

в точке y . То есть из равномерной непрерывности f всегда следует её не-

прерывность.

Обратное утверждение, однако, неверно.

Рассмотрим функцию f (x) =sin 1x , x (0;1]. Эта функция непрерывна на (0;1], т. к. терпит разрыв в точке x0 =0 , но x0 (0;1]. Как и выше, возь-

xn − yn n→0 (это очевидно) и, следовательно, при соответствующем выборе значения n расстояние между xn и yn может быть сделано сколь

угодно малым; иными словами, если взять, например, ε=12 , то получим:

ε>0 δ>0 xn , yn (0;1]: ( xn − yn <δ) f (xn ) − f ( yn ) >12 ,

т. е. получено отрицание условия (1.5.2).

Существуют, однако, ситуации (и мы с ними столкнёмся ниже), когда нам нужно гарантировать, что непрерывная на D функция будет на D и равномерно непрерывной. Такую гарантию нам даёт следующая теорема.

Теорема 1.5.8 (Кантор. О равномерной непрерывности.) Непре-

рывная на отрезке [a; b] функция f равномерно непрерывна на этом от-

резке.

Доказательство. Предположим противное:

ε>0 δ>0 xδ , yδ [a; b]: ( xδ − yδ <δ f (xδ ) − f ( yδ ) ≥ε).

Воспользуемся произвольностью выбора δ и положим δn =1n , n N . Тогда

80