Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

Доказательство очевидно.

5. Для любых A , B и D справедливо:

x D , т.е. x ( A B) или x D , а значит x ( A B) D . Мы доказа-

ли включение:

A (B D) ( A B) D .

Обратное включение доказывается аналогично. Доказательство ассоциативности пересечения провести самостоятельно.

6. Для любых A , B и D справедливо:

A ∩ (B D) = ( A ∩ B) ( A ∩ D) ; A (B ∩ D) = ( A B) ∩ ( A D) .

(Эти два равенства называются первым и вторым законами дистрибу-

тивности.)

Докажем первый закон, для этого опять, как и выше, покажем, что одновременно выполняются включения:

A ∩ (B D) ( A ∩ B) ( A ∩ D) A ∩ (B D) ,

x ( A ∩ B) ( A ∩ D) .

Если теперь x ( A ∩ B) ( A ∩ D) , то ( x A и x B ) или ( x A и x D ), но это значит, что x A и в то же время x B или x D , то есть x A ∩ (B D) и первый закон доказан.

Второй закон доказывается аналогично. (Провести доказательство самостоятельно!)

7. Для любых A X и B X справедливо:

C( A ∩ B) = CA CB ; C( A B) = CA ∩ CB (закон двойственности).

Доказательство. Пусть x C( A ∩ B) . Это эквивалентно тому, что x ( A ∩ B) , то есть: либо x A, либо x B , но это возможно тогда и

только тогда, когда x CA или x CB , то есть x CA CB . Легко видеть, что каждый шаг этого доказательства обратим (то есть в обратную сторону доказательство идет тем же путем).

Приведем еще формальную запись этого доказательства: x C( A ∩ B) x A ∩ B (x A) (x B)

(x CA) (x CB) x CA CB .

Второй закон двойственности доказывается аналогично, доказательство проведите сами.

11

Докажем еще одну удобную формулу, которая часто применяется при доказательстве различных теоретико-множественных формул.

8. Для любых A X и B X имеет место:

A \ B = A ∩ CB .

Доказательство:

x A \ B (x A) (x B) (x A) (x CB) x A ∩ CB .

Рекомендуем это равенство проиллюстрировать рисунком, подобным приведенным выше.

Приведенные правила действий над множествами позволяют доказывать теоретико-множественные тождества прямым вычислением, не доказывая включения левой части тождества в правую и наоборот правой части в левую. Об этом подробнее будет сказано ниже – в упражнении 1.1.

Теперь введем понятие функции. Это важнейшее понятие во всей математике. Взгляды на понятие функции изменялись и развивались вместе с самой математикой и, поэтому, понятие функции можно вводить с той или иной мерой строгости в зависимости от того, каковы потребности дальнейшей работы с этим понятием.

Мы введем определение функции, которое будет опираться на такие слова, как «правило» или «закон», интуитивно понятные в обычной речи, но которые, строго говоря, сами нуждаются в определении. Иными словами, мы не будем сразу же усложнять понятие функции – нам будет достаточно тех интуитивных соображений, о которых сказано выше.

Итак, пусть А и В два множества произвольной природы.

Определение 1.1.1. Всякое правило (закон), по которому каждому элементу x A ставится в соответствие элемент y B (при этом каждому x ставится в соответствие только один y ) называется функцией, определенной на множестве A со значениями в множестве B .

Если A и B подмножества числовой прямой, то функция называется

числовой.

Наряду с термином «функция» употребляются термины «отображение», «морфизм» и др.

Каждому такому правилу присваивается название. Обычно оно состоит из одной буквы: f, ϕ, ψ и т. п. Есть функции, которым название присвоено раз и навсегда. Например, функция с названием sin – это функция, которая ставит в соответствие любому x R его синус, то есть sin x. Вы легко теперь скажете что такое функция ln, arccos и т. д.

Функция f, таким образом, это функция, которая каждому x ставит в соответствие y B и этот y обозначают f (x) .

Зачастую в литературе можно прочесть такие слова: «…пусть f (x) – функция, определенная…». Надо сразу понять, что в этих словах кроется неточность: f (x) – это не имя функции, а значение функции на элементе x , т.е. это тот самый y B , который поставлен элементу x в соответствие.

12

Но эта «вольность речи» уже настолько укоренилась, что ее перестали замечать. Оправдать ее можно тем, что запись f (x) как бы показывает какое «имя» присвоено точкам множества A : «имя x ».

Обычно множество A называют областью определения функции f и обозначают D ( f ) или dom ( f ) , а точки x D ( f ) называют аргументами f.

Элемент y B , соответствующий элементу x при отображении f, называют значением функции f в точке x или образом точки x .

То, что f – есть функция, отображающая A в B , записывают так: f : A → B или x → f (x) B или y = f (x) ;

каждую из этих записей мы будем использовать.

Через f ( A) мы будем обозначать множество всех значений функции f

на множестве A :

f ( A) = {y B : y = f (x), x A} .

Важно понять, что требуя единственности значения функции на каждом x A, мы не требуем того, чтобы два разных x1 и x2 отображались с помощью f в два разных же y1 и y2. Например, если A = [−1; 1] R , B = R ,

то функция

f :[−1; 1] → R ,

такая что

x → x2

ставит в соответствие x1 = –1/2 и x2 = 1/2 один и тот же y = 1/4.

То есть, если мы поставим себе обратную задачу: по y f ( A) отыскать тот самый x , для которого f (x) = y , то эта задача может оказаться разрешимой неоднозначно: в предыдущем примере y=1 получался примене-

нием f (x) = x2 к двум разным x1 = –1 и x2 = 1.

Это можно пояснить еще так: для фиксированного y f ( A) введем множество

f −1 ( y) = {x D ( f ) : f (x) = y}.

Это множество называется полным прообразом элемента y или множеством уровня функции f , определённым элементом y. Тогда для функции f (x) = x2 имеем:

f −1 (1) = {−1;1}.

Введем в рассмотрение различные типы функций.

1. Если f ( A) = B или, что то же самое:

y B x A : f (x) = y

(в В нет элементов, которые бы не были образами какого-либо x A), то функция называется сюръекцией или наложением.

2. Если x1 , x2 A : (x1 ≠ x2 ) ( f (x1 ) ≠ f (x2 )) .

13

или, то же самое, для всех y f ( A) полный прообраз f −1 ( y) состоит в точности из одного элемента, то f называется инъекцией, или вложением,

или обратимой функцией, или взаимнооднозначной функцией.

3. Если f : A → B одновременно является сюръекцией и инъекцией, то она называется биекцией.

Инъективные функции позволяют ввести в рассмотрение так называемые обратные функции: функция ϕ, определенная на f ( A) со значениями в D ( f ) называется обратной к f, если f инъективна, а

ϕ: y f ( A) → f −1( y) .

Всилу того, что у каждого y f ( A) прообраз состоит в точности из

одного элемента, отображение ϕ действительно является функцией. Обозначение ϕ :ϕ ( y) = f −1( y) .

В заключение раздела рассмотрим еще несколько определений.

Эта функция называется композицией или суперпозицией или сложной функцией и обозначается g o f .

В математике важно уметь сравнивать множества по «количеству» элементов. Мы, не задумываясь скажем что множество из 100 элементов мощнее, чем множество из 7 элементов, если даже не будем знать точного определения слова «мощность» множества. Также не задумываясь, мы скажем, что натуральный ряд чисел «мощнее», чем множество, состоящее из 10¹º чисел. Однако у человека, впервые знакомящегося с математическими теориями, выходящими за рамки школьного курса, вызовет затруднение вопрос: «какое множество мощнее – натуральный ряд чисел или множество всех положительных четных чисел ?» И это естественно, поскольку здесь нам предлагается сравнить два бесконечных множества.

Вопрос о том, что такое мощность множества мы оставим открытым, поскольку его решение выходит за рамки нашего курса математического анализа, однако одно определение, связанное с понятием мощности множества мы введем из-за его большой для нас важности.

Определение 1.1.2. Два множества называются равномощными, если между ними можно установить хотя бы одну биекцию.

Например, если N – натуральный ряд чисел, а

14

A = {2; 4;6;...; 2n;...} = {x = 2n | n N},

то A и N – равномощны. Биекция очевидна:

f : n ↔ 2n, n N .

Определение 1.1.3. Множество называется счетным, если оно равномощно натуральному ряду чисел или, что то же самое, если между ним и натуральным рядом чисел можно установить хотя бы одну биекцию.

В дальнейшем элементы счетных множеств мы будем записывать с индексом: an, n = 1, 2,…, тем самым подчеркивая биекцию: n ↔ an , n N . Часто говорят, что установить биекцию между N и A ,– значит «сосчитать» A с помощью N.

Вопросы для самопроверки.

1.Используя фигурные скобки, запишите числовые множества (а; b); [0;1]; [–2;+∞].

2.Запишите с помощью символов следующие предложения:

а) «Для любого действительного числа x найдется такое натуральное число n, что какое бы натуральное число m, следующее после n мы ни взяли, имеет место тот факт, что x меньше среднего арифметического чисел n и m».

б) «Для любого действительного числа x найдутся натуральные числа n и m, для которых имеет место тот факт, что их среднее арифметическое больше, чем x ».

в) «Числовая функция f является четной». «Числовая функция f является нечетной».

(Указание: смотреть соответствующую запись для периодической функции). Запишите отрицания каждого из высказываний.

« x принадлежит A или B ». Одинаковый ли смысл в обоих случаях носит союз «или»?

5. Можно ли «раскрыть скобки» следующим образом:

( A B) ∩ D = ( A ∩ D) (B ∩ D) ?

6.Встречались ли вы при работе с действительными числами с понятиями рефлексивности, транзитивности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности?

7.Является ли инъекцией:

Будет ли сюръекцией какая-либо из вышеперечисленных функций? Будет ли биекцией хотя бы одна из вышеперечисленных функций?

8. Пусть А1 = [0; 1], А = [–1;1], f (x) =| x | , ϕ (x) = x .

15

Убедитесь, что f – продолжение ϕ, а ϕ – сужение f. Нарисуйте соответствующие графики.

9. Пусть A = {a1 , a2 , a3 }, B = {b1 , b2 ,b3}. Построим функции:

f : a1 → b1 , a2 → b2 , a3 → b3 и ϕ : b1 → a2 , b2 → a3 , b3 → a1 . Почему ϕ можно называть функцией из В в А, но нельзя назвать обратной к f ?

Упражнение 1.1.

1. Доказать равенство:

( A B) \ ( A ∩ B) = ( A \ B) (B \ A) .

Доказательство.

Во-первых: это равенство показывает, что симметрическую разность множеств можно определять двумя формулами:

A B = ( A B) \ ( A ∩ B) = ( A \ B) (B \ A)

(проиллюстрируйте это самостоятельно с помощью рисунка). Во-вторых: отметим, что доказывать равенство, доказывая включение

одной его части в другую,– задача сложная. Поэтому будем доказывать прямыми вычислениями, используя правила действий над множествами.

Докажем, что левая часть равна правой, при этом в скобках будем

( A \ B) (B \ A) что и требовалось.

Можно, наоборот, преобразуя правую часть, доказать, что она равна левой. Сделайте это самостоятельно. Вы увидите, что в этом случае вычисления пойдут несколько иначе: возникнут множества вида A CA . Ясно, что A CA = X , а для любого множества D имеет место: D ∩ X = D .

2. Доказать равенства:

а) C(CA) = A;

б) ( A \ B) \ D = ( A \ D) \ (B \ D) ;

в) ( A \ B) (B \ D) (D \ A) ( A ∩ B ∩ D) = A B D ; г) C( A \ B) = CA B ;

д) C(C(CA B) ( A CB)) = B \ A ;

е) ( A ∩ B) ( A ∩ CB) (CA ∩ B) = A B ; ж) A∩ B = A \ ( A \ B) ;

з) A (B \ A) = A B ;

и) A \ B = A \ ( A ∩ B) ;

к) A∩ (B \ D) = ( A ∩ B) \ D ;

16

3.Показать, что операции « » и « \ » можно выразить через операции

«» и « ∩ ».

4.Упростить выражение C(C( A B) ∩ (CA CB)) .

5.Доказать теоремы:

а) A B A ∩ B = A;

б) A B A B = B ;

в) A B CB CA.

Доказательство.

а) Пусть A B , докажем A ∩ B = A.

Для этого докажем два включения A ∩ B A и A A ∩ B . Первое включение очевидно из определения операции пересечения. Включение A A ∩ B можно доказать так: если x A B , то x B , то есть x A и x B одновременно, то есть x A ∩ B .

Обратно, пусть A ∩ B = A, докажем A B . Пусть x A x A ∩ B , но тогда, по определению операции A ∩ B имеет место x B , что и требовалось. Теорема доказана полностью.

в) A B CB CA CB ∩ CA = CB C(B A) = CB A B = B .

6. Положим:

n

U Ak = {x | k : x Ak , k = 1, 2, ..., n};

k =1 n

I Ak = {x | k = 1, 2, ..., n : x Ak } .

k =1

Доказать:

17

7.Вытекает ли из A \ B = D , что A B D ?

8.Вытекает ли из A = B D , что A \ B = D ?

9.Найти все подмножества множеств:

а) ; б) { }; в) {x} ; г) {1, 2} .

10.Установить, какие из следующих равенств являются истинными:

а) f −1 (Y1 Y2 ) = f −1 (Y1 ) f −1 (Y2 ) ;

б) f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 ) ;

в) f −1 (Y1 \ Y2 ) = f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ) ;

г) f (X1 X 2 ) = f (X1 ) f (X 2 ) ; д) f (X1 ∩ X 2 ) = f (X1 ) ∩ f (X 2 ) ;

е) f (X1 \ X 2 ) = f (X1 ) \ f (X 2 ) ;

ж) f −1 ( f (X1 )) X1 ;

з) f −1 ( f (X1 )) X1 ;

и) f ( f −1 (Y1 )) Y1 ;

к) f ( f −1 (Y1 )) Y1 ;

л) (g o f ) (X1 ) = g ( f (X1 )) ;

м) (g o f )−1 (Z) = f −1 (g −1 (Z)) .

Здесь f : A → B , g : B → C , X1 , X 2 A , Y1 , Y2 B , Z C , f −1 (Y) = {x : f (x) Y}.

Докажем, например, равенства б) и л):

б) x f −1 (Y1 ∩ Y2 ) f (x) Y1 ∩ Y2 ( f (x) Y1 ) ( f (x) Y2 )

(x f −1 (Y1 )) (x f −1 (Y2 )) (x f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 )) ;

л) z (g o f )(X1 ) x (x X1 z = (g o f )(x))x (x X1 y (y B z = g( y) y = f (x)))

18

y x (x X1 y B z = g( y) y = f (x))

y ( x(x X1 y = f (x) y B) z = g( y))

y (y f (X1 ) z = g( y)) z g( f (X1 )) .

Ответы. 4. A B . 7. Да. 8. Нет. 10. а) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да; и) да; к) да; м) да.

19