Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

Доказательство очевидно следует из определения предела функции по Коши:

то существуют пределы

lim( f (x) ±g(x)) =a ±b ;

x→x0

lim f (x) g(x) =a b ;

x→x0

lim f (x) = a – в последнем случае предполагается, что b ≠0 .

x→x0 g(x) b

Доказательство следует из определения Гейне и соответствующих свойств пределов числовых последовательностей.

~

Теорема 1.4.7. Если f (x) ≡c в Uδ (x0 ) , то lim f (x) =c .

x→x0

Доказательство. Возьмём xn →n x0 . Тогда f (xn ) ≤ϕ(xn ) ≤g(xn ) . Пе-

реходя к пределу и используя теорему о сжимающих последовательностях,

61

получим lim ϕ(xn ) =a , и, поскольку xn выбрана произвольно, теорема до-

n

казана в силу определения Гейне.

Замечание. Последние три теоремы называют теоремами о предельных переходах в неравенствах.

Для функций, монотонных на конечном или бесконечном интервале (a; b) , справедливы теоремы о существовании пределов. Докажем одну из

Определение 1.4.4. Функция α называется бесконечно малой вблизи

точки x0 , если lim α(x) =0 .

x→x0

Теорема 1.4.12. Число с будет являться пределом функции f в точке x0 тогда и только тогда, когда найдётся бесконечно малая вблизи x0

~

функция α такая, что для всех x Uδ (x0 ) выполнится равенство f (x) =c +α(x) .

Доказательство. Пусть с=lim f (x) . Тогда положим α(x) = f (x) −c .

x→x0

Очевидно, lim α(x) =lim ( f (x) −c) =0 , т. е. искомая α(x) построена.

x→x0 x→x0

Обратно, если существуют такие с и α(x) , что f (x) =c +α(x) , то у

правой части этого равенства существует предел lim(c +α(x)) =c , а значит,

x→x0

существует предел lim f (x) =c . Теорема доказана.

x→x0

Упражнение. С помощью теоремы 1.4.12 доказать теорему 1.4.6. По существу теорема 1.4.12 показывает, что определение предела

функции в точке мы могли бы дать, если бы сначала ввели понятие бесконечно малой функции. Действительно, это можно было сделать так: число с называется пределом функции f в точке x0 , если функция f (x) −c явля-

ется бесконечно малой вблизи точки x0 .

Это замечание показывает, насколько важным является понятие бесконечно малой функции.

62

Нам в дальнейшем неоднократно придётся выяснять вопрос: какая из двух данных нам бесконечно малых вблизи x0 функций α и β стремится к нулю быстрее?

Для этого надо договориться о том, как мы будем понимать слово «быстрее».

Введём следующие понятия:

– если существует lim α(x) = p ≠0 , то будем говорить, что α и β име-

x→x0 β(x)

ют одинаковый порядок малости;

– если при этом p =1, то α и β назовём эквивалентными вблизи x0 и

будем это обозначать так: α(x) ~ β(x) ;

x→x0

– если lim α(x) =0 , то будем говорить, что α имеет больший порядок

x→x0 β(x)

малости, нежели β, и будем обозначать это так: α = o (β) ;

–если α = o (β) и найдётся натуральное число k такое, что функции

αи βk будут одного порядка малости, то будем говорить, что α имеет k-й порядок малости относительно функции β.

В заключение этого раздела докажем две теоремы о пределах, назы-

ваемых замечательными пределами.

Первый замечательный предел.

63

Из рисунка ясно, что площадь треугольника OBA меньше площади кругового сектора OBA, которая, в свою очередь, меньше площади треугольника OCA , т. е.

12 OB OA sin x<12 OB OA x<12 OA CA.

Нам остаётся показать, что cos x x x→1. Для этого, используя эле-

→ 0

ментарную тригонометрическую формулу и левое неравенство из (1.4.7), запишем:

Равенство (1.4.6) полностью доказано.

Второй замечательный предел.

Выше мы ввели в рассмотрение число е как предел специальной по-

он равен?

Надо ожидать, что если этот предел существует, то он равен числу е, что следует из определения самого числа е и определения предела функции по Гейне.

64

но сначала напомним определение целой части числа: целое число E(x) называется целой частью числа х, если:

1)E(x)≤x ;

2)E(x) +1>x .

Например: E(1, 51) =1, E(7) =7, E(−2, 3) =−3 . Иными словами, целая

часть числа х – это ближайшее к х слева целое число.

Доказательство формулы (1.4.9) проведём с помощью определения Гейне. Возьмём произвольную последовательность xn ↑+∞. Ясно, что начиная с некоторого номера xn >0 , поэтому kn =E(xn ) можно считать нату-

Простейшими преобразованиями эти неравенства можно записать в

( kn – подпоследовательность натуральных чисел, а, как известно, любая

подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и сама последовательность), то, с учётом (1.4.12), получа-

65

Теперь рассмотрим случай x↓−∞. Для этого обозначим t =−x . Тогда

Формулы (1.4.9) и (1.4.10) доказаны. Эти формулы и принято называть вторым замечательным пределом.

Впоследствии мы увидим, насколько важны для теории и приложений математического анализа эти два предела. Поэтому прилагательное «замечательный» было дано этим пределам не случайно.

66

Упражнение 1.4.

1. Найти пределы рациональных выражений:

5x + 2 а) limx →4 2x +3 .

Решение. Так как x → 4 , то числитель дроби стремится к числу 5 4 + 2 = 22 , а знаменатель – к числу 2 4 +3 =11. Следовательно,

Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают

∞

при x → ∞, т.е имеем неопределённость вида ∞ . Разделив числитель и знаменатель дроби на x, получаем

Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю

67

2. Найти пределы иррациональных выражений:

Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый множитель

Решение. Положим 1 + x = y5 , тогда y →1 при x → 0 . Значит,

68

3. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел:

а) lim sin mx .

x →0 x

4. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел:

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

69

Таким образом, при x → ∞ данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к

бесконечности (неопределённость вида 1∞ ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим