Zabotin_Dulliev_Chernyaev_-_Mat_an

Теорема 1.6.1. Для того чтобы f была дифференцируема в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала f / (x0 ) . При этом L = f / (x0 ) , т. е.

Тогда существует α(dx) такая, что α(dx) →0 , для которой справедливо

dx→0

равенство

изводную в точке x0 , будем также называть дифференцируемой в этой точке, а процедуру нахождения производной f / (x0 ) будем называть дифференцированием f .

Заметим также, что дифференциал f называют главной (линейной) частью приращения функции, поскольку по дифференциалу f можно судить о f (x0 ) в достаточно малой окрестности точки x0 .

Из определения дифференциала функции легко получить

Следствие. Дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке.

Доказательство. Поскольку правая часть формулы f (x0 ) = f / (x0 )dx +o(dx)

очевидно имеет предел при dx →0 , равный нулю, то

lim f (x0 ) =0 ,

dx→0

откуда и следует непрерывность f в точке x0 .

91

Замечание. Однако обратное утверждение не имеет места. Легко построить функцию, непрерывную в точке x0 , но не имеющую в этой точке производной. Например, f (x) = x , x0 =0 .

Очевидно

отсюда следует существование обеих односторонних производных, не равных друг другу.

Правила дифференцирования.

Теорема 1.6.2. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 , тогда в этой точке дифференцируемы функции f +g , f −g , f g и f g (в последнем случае предполагается g(x0 ) ≠0 ) и имеют место формулы

функции f и g дифференцируемы, то последнее выражение имеет предел при dx →0 :

Uε ( y0 ) и g(Uδ (x0 )) Uε ( y0 ) . Пусть g дифференцируема в точке x0 , а f

92

что и требовалось.

Следствием из полученной формулы является следующее свойство дифференциала:

Свойство инвариантности (неизменности) формы дифференциа-

ла. Пусть выполняются все условия теоремы 1.6.3. Тогда dF (x0 ) = f / ( y0 )dg(x0 ) .

Доказательство. По формуле вычисления дифференциала dF (x0 ) = f / ( y0 )dg(x0 ) , но F / (x0 ) = f / ( y0 ) g / (x0 ) , а dg(x0 ) =g / (x0 )dx , по-

этому dF (x0 ) = f / ( y0 ) g / (x0 )dx = f / ( y0 )dg(x0 ) , что и требовалось.

Это свойство можно интерпретировать следующим образом: независимо от того, является ли x независимым аргументом или является функцией (дифференцируемой) другого аргумента, форма записи df (x0 ) = f / (x0 )dx остаётся верной в любом из этих случаев.

Теорема 1.6.4 (о производной обратной функции). Пусть f стро-

го монотонна в окрестности точки x0 и дифференцируема в точке x0 , причём f / (x0 ) ≠0 , тогда обратная функция дифференцируема в точке y0 = f (x0 ) и

93

Поскольку существует обратная функция t =ϕ−1 (x) , то можно определить в

данная параметрически.

Однако далеко не всегда можно найти аналитическую запись функции f . Например, x =tlnt; y =sint; t >1. Ясно, что tlnt - строго растущая

непрерывная функция и, следовательно, у неё существует обратная (строго монотонная и непрерывная), но найти явную запись t =ϕ−1 (x) невозможно.

(Эта ситуация обычна для математики: аналитическая запись возможна лишь в виде комбинаций из набора элементарных функций, но этот набор слишком узок и беден для того, чтобы описать всё многообразие функций, встречающихся в природе.)

Более того, как мы вскоре увидим, функции x =tlnt и y =sint дифференцируемы во всех точках t из общей области их определения и x/ (t) ≠0 при t >1, а следовательно, ϕ−1 (x) также дифференцируема при всех x >0 в силу теоремы 1.6.4. Но тогда по теореме 1.6.3 дифференцируема и сложная функция f (x) =sin(ϕ−1 (x)) , т. е. параметрически заданная функция оказа-

лась дифференцируемой. Но тогда возникает вопрос - как найти её производную? Ответить на этот вопрос позволит следующая теорема.

Теорема 1.6.5 (о производной функции, заданной параметриче-

ски). Пусть функции x =ϕ(t) и y =ψ(t) дифференцируемы в точке t0 и функция ϕ удовлетворяет условиям теоремы 1.6.4. Тогда параметрически заданная функция дифференцируема в точке x0 =ϕ(t0 ) , причём

f / (x0 ) =ψ// (t0 ) .

ϕ (t0 )

94

Доказательство. По теореме 1.6.3 найдём производную сложной функции: f / (x0 ) =ψ/ (t0 )(ϕ−1 )/ (x0 ) . Но по теореме 1.6.4

(ϕ−1 )/ (x0 ) =ϕ/ 1(t0 ) .

Таким образом f / (x0 ) =ψ// (t0 ) , что и требовалось.

ϕ (t0 )

Теперь мы можем перейти к выводу производных элементарных функций. При этом мы воспользуемся лишь первым и вторым замечательными пределами (поэтому они и названы замечательными!) и правилами нахождения производных, полученными выше.

Теорема 1.6.6. Имеют место следующие формулы:

10. (xα )/ =αxα−1 при α R и x >0 ; 20. (ex )/ =ex , x R ;

2/. (a x )/ =a x lna при всех a >0; a ≠1; x R ;

f / (x) =1. Это мы видели раньше, когда отыскивали дифференциал этой

95

Формула 70 получается аналогично, поэтому предлагается получить её самостоятельно.

96

Формулу 80 можно получить, заметив, что y =arcsin x , x [−1;1] - об-

Из определения ясно, что функция в этих случаях должна быть определена хотя бы в некоторой окрестности точки x0 .

Все указанные точки носят общее название: экстремальные точки функции f .

Очень важно отдавать себе отчёт, что одна и та же функция может иметь множество экстремальных точек, например, функция

f (x) =x(x −1)(x −2)(x −3) ,

как легко видеть из элементарных рассуждений, имеет две точки минимума, расположенные на интервалах (0;1) и (2; 3) . Это происходит оттого,

что неравенства (1.6.13) по определению должны иметь место только лишь в окрестности экстремальной точки. Поэтому точки экстремума часто на-

зывают точками локального экстремума.

Умение отыскивать экстремальные точки является определяющим во многих прикладных и теоретических исследованиях, поэтому сформулируем и докажем следующую теорему, дающую необходимые условия экстремума для дифференцируемых функций.

Теорема 1.6.7 (Ферма). Пусть функция f имеет в точке x0 экстремум и дифференцируема в этой точке, тогда f / (x0 ) =0 .

97

чим, что f (x) − f (x0 )<0 , а при x (x0 , x0 +δ) получим f (x) − f (x0 ) >0 . Таким образом, точка x0 не является экстремальной. Разумеется, доказатель-

ство будет аналогичным, если предположить, что f / (x0 )<0 . Теорема доказана.

Замечание. Точки, в которых f / (x) =0 , называются стационарными точками функции f , поэтому теорему Ферма можно сформулировать так:

Если функция f имеет в точке x0 экстремум и дифференцируема в этой точке, то x0 - стационарная точка f .

Важно отдавать себе отчёт в том, что обратное утверждение не имеет места: если x0 - стационарная точка f , то она не обязана быть экстре-

мальной. Так, например, точка x0 =0 является стационарной для f (x) =x3 , однако, как легко видеть, не является экстремальной: f (x)<0 при x <0 и f (x) >0 при x >0 .

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: в точке экстремума касательная к графику функции f , построенная в точке

(x0 , f (x0 )) , параллельна оси абсцисс.

Следствием из теоремы Ферма является другая важная теорема.

Теорема 1.6.8 (Ролля.) Пусть f определена на отрезке [a; b] и об-

ладает на нём следующими свойствами:

а) f (a) = f (b) ; б) f дифференцируема в каждой точке (a; b) ; в) f непрерывна в точках а и b. Тогда у f существует стационарная точка

x0 (a; b) .

Доказательство. Из условий б) и в) следует, что f непрерывна на [a; b] и, следовательно, по второй теореме Вейерштрасса найдутся точки

цами отрезка [a; b] , то f – тождественно постоянная в силу условия а) функция и за точку x0 может быть взята любая точка из (a; b) . Если же одна из точек x1 и x2 лежит внутри (a; b) , то она является экстремальной,

98

поскольку попадает в (a; b) вместе с некоторой своей окрестностью, и по теореме Ферма она является стационарной. Теорема доказана.

Теорема 1.6.9 (Лагранж). Пусть f дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и непрерывна в точках а и b. Тогда найдётся точка ξ (a; b) такая, что

Очевидно, F дифференцируема на (a; b) и непрерывна в точках а и b как

разность функций, удовлетворяющих этим условиям. Кроме того (проверьте!), F (a) =F (b) = f (a) . Таким образом, F удовлетворяет теореме Рол-

ля и, следовательно, найдётся точка ξ (a; b) такая, что F / (ξ) =0 , т. е.

конечных приращений, поскольку связывает между собой заданное приращение аргумента b −a и соответствующее ему приращение функции.

Заметим также, что точку ξ можно представить в виде

ξ=a +θ(b −a), θ (0;1) ,

поэтому утверждение теоремы Лагранжа часто формулируют следующим образом:

Найдётся θ (0;1) такая, что f (b) − f (a) = f / (a +θ(b −a))(b −a) .

Теорема 1.6.10 (Коши). Пусть функции f и g дифференцируемы в каждой точке интервала (a; b) и непрерывны в точках а и b, тогда найдётся точка ξ (a; b) такая, что

99

g(x) =x , то g / (x) =1≠0 и формула (1.6.16) становится формулой конечных приращений.

Упражнение. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» фор-