- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
Глава 8. Введение в математическую статистику
§1. Выборочный метод
Основной целью математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых случайных явлениях и процессах на основе статистических данных. Эта цель распадается на две задачи: 1-я задача разработка способов сбора и группировки статистических данных; 2-я задача - разработка методов анализа статистических данных. Статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Всё множество изучаемых объектов называется генеральной совокупностью (Г.С.), число объектов в ней называется объемом и обозначается буквой N. Сплошное наблюдение часто оказывается невозможным и потому исследуется некоторая часть Г.С. Множество отобранных объектов называется выборочной совокупностью или выборкой, число объектов в выборке называется ее объемом и обозначается буквой n. При этом, если отобранный элемент после изучения возвращается в Г.С. и при отборе следующих элементов может быть выбран повторно, то выборка называется повторной; если же отобранный элемент не возвращается в Г.С., то выборка называется бесповторная.
Выборка называется репрезентативной, если она правильно представляет Г.С., т.е. процентное соотношение элементов, обладающих каким-нибудь свойством, одинаковое в Г.С. и в выборке. Выборка будет репрезентативной, если отбор ее элементов осуществляется случайно, причем каждый объект Г.С. имеет одинаковую возможность попасть в выборку. Для этого используют следующие виды отбора элементов выборки. Простой случайный отбор: все элементы Г.С. нумеруют и случайным образом выбирают номера. Типический отбор: вся Г.С. подходящим образом разбивается на несколько частей, и из каждой части случайным образом выбирается по одному элементу. Серийный отбор: вся Г.С. подходящим образом разбивается на несколько частей, случайным образом выбирается одна часть и все элементы этой части включаются в выборку. Механический отбор: все элементы Г.С. нумеруют, подбирают подходящее число m и выбирают по порядку каждый m-й ее элемент.
Пусть Х некоторый признак или свойство изучаемых объектов. Тогда Х можно считать случайной величиной, ее значения для элементов выборки объема n обозначаются малыми буквами х1, х2, ..., хn, и называются вариантами. Если вариант хi встречается в выборке mi раз, то mi называется частотой, а отношение mi : n называется относительной частотой или частостью этого варианта. Сумма частот всех различных вариантов равна объему выборки: m1 + m2 + ... + mk = n. Таблица всевозможных вариантов хi, расположенных в возрастающем ( или убывающем) порядке с указанием частот mi или относительных частот wi называется дискретным вариационным рядом частот или относительных частот данной выборки:
хi |
х1 |
х2 |
. . . |
хk |
mi |
m1 |
m2 |
. . . |
mk |
Эмпирической функцией распределения называется функция F*(х), которая каждому числу х ставит в соответствие относительную частоту nx/n cобытия Х < х : F*(х) = nx/n, где nx - число вариант, меньших х; n - объем выборки. Эта функция служит аналогом теоретической функции распределения F(х) величины Х. Для наглядного изображения вариационного ряда строят полигон, являющийся аналогом теоретической функции плотности. Полигон частот - это ломаная линия, соединяющая точки
А1(х1; m1), А2(х2; m2), ... , Аk(хk; mk); полигон относительных частот - это ломаная линия, соединяющая точки А1(х1; w1), А2(х2; w2), ..., Аk(хk; wk), в прямоугольной системе координат.
Если Х является непрерывной случайной величиной, принимающей все значения из промежутка (а; b), то используют интервальные вариационные ряды. В качестве концов промежутка (а; b) берут наименьший (а хmin ) и наибольший (b хmax ) варианты, разбивают (а; b) на интервалы (a1; b1), (a2; b2), ... , (ak; bk) такие, что a1 = а, bk = b и для остальных концов выполняется
bi = ai+1. Число интервалов k зависит от объема выборки n и обычно определяется по формуле Стерджесса: k (1+3,322lgn). Длины интервалов одинаковые hi = (b а)/k. Затем находят частоты интервалов mi - это число вариантов, входящих в i-й интервал. Интервальный вариационный ряд частот имеет вид
интервалы |
(a1;b1) |
(a2; b2) |
. . . |
(ak; bk) |
частоты |
m1 |
m2 |
. . . |
mk |
Для наглядного изображения интервального вариационного ряда строят гистограммы. Гистограмма частот - это плоская фигура в прямоугольной системе координат, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы (ai; bi), а высоты Нi вычисляются по формулам Нi = mi/hi, где hi -длина i-го интервала. Характерная особенность гистограммы в том, что площади прямоугольников равны частотам соответствующих интервалов.
Пусть изучается некоторый признак Х, и х1, х2, ... , хn - варианты его значений для произвольной выборки объема n. Статистической оценкой признака Х называется функция (х1, х2, ... , хn) от вариантов х1, х2, ... , хn, с помощью которой вычисляется приближенное значение исследуемого признака: Х (х1, х2, ... , хn). Выборка осуществляется случайным образом, поэтому оценку (х1, х2, ... , хn) можно считать случайной величиной, тогда (х1, х2, ... , хn) может иметь математическое ожидание М() и дисперсию D(). Наилучшими считаются оценки следующих трех видов. Оценка (х1, х2, ... , хn) называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению изучаемого признака: М() = Х. Оценка (х1, х2, ... , хn) называется эффективной, если ее дисперсия D() является наименьшей среди дисперсий всевозможных оценок данного признака. Оценка (х1, х2, ... , хn) называется состоятельной, если ее значения стремятся к истинному значению признака при неограниченном возрастании объема выборки:
(х1, х2, ... , хn) Х при n
Пусть Х1, Х2, ..., ХN - значения признака Х для элементов Г.С. и х1, х2,..., хn - значения Х для элементов выборки. По ним определяются следующие величины:
1) =ХГ - генеральная средняя;
2) =хв - выборочная средняя;
3) =DГ - генеральная дисперсия;
4) =Dв - выборочная дисперсия;
5) Г =-генеральное среднее квадратическое отклонение;
6) в =-выборочное среднее квадратическое отклонение.
Если варианты х1, х2 , ... , хn имеют частоты m1 , m2, ... , mn , то указанные выше формулы принимают вид:
хв = ,
Dв = .
Пусть некоторое событие А встречается М раз в Г.С. объема N, и m раз в выборке объема n. Тогда величины =p и =w называются соответственно генеральная доля и выборочная доля события А.
Теорема 1. а). Выборочная средняя является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой для генеральной средней:
М(хв) =ХГ ихв ХГ при n .
б). Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для генеральной дисперсии, и выполняется равенство
М(Dв) = .
в). Выборочная доля является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой генеральной доли:
М(w) = p и w p при n .
Доказательство (см. [4]).
При достаточно больших объемах выборки отклонение Dв от DГ является незначительным, но при n < 20 это отклонение становится заметным, и для оценки DГ рекомендуется находть исправленную дисперсию:S2 =
Легко доказывается, что S2 и S являются несмещенными оценками DГ и Г, соответственно. Некоторые другие понятия и методы данной темы указаны в следующих примерах.
Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
хi |
2 |
5 |
7 |
10 |
mi |
16 |
12 |
8 |
14 |
Требуется: 1) найти эмпирическую функцию распределения; 2) построить полигоны частот; 3) найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии.
Решение. 1). Для х 2 вариант, меньших х, нет, поэтому F*(х) = 0. Для 2< х 5 число вариант, меньших х, равно 16, поэтому F*(х) =16/50 = 0,32. Для 5< х 7 число вариант, меньших х, 16 + 12 = 28, поэтому F*(х) = 28/50 = 0,56. Для 7< х 10 число вариант, меньших х, равно16+12+8 = 36, поэтому F*(х) = 36/50 = 0,72. Для х > 10 все варианты меньше х, тогда F*(х) = 1. Получена следующая эмпирическая функция распределения:
0, если x 2,
0,32, если 2 < x 5,
F*(x) = 0,56, если 5 < x 7,
0,72, если 7 < x 10,
1, если x > 10 .
2). Полигон частот - это ломаная А1(2; 16), А2(5; 12), А3(7; 8), А4(10;14); полигон относительных частот - это ломаная В1(2; 0,32), В2(5; 0,24), В3(7; 0,16), В4(10; 0,28).
Y Y
16 А1 0,4
А4 В1
12 А2 0,3 В4
А3 В2
8 0,2 В X X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис.4
3). Выборочная средняя равна хв = (216+512+78+1014)/50 = 5,76. Выборочная дисперсия равна Dв = [(2 5,76)216 + (5 5,76)212 + (75,76)28 + (10 5,76)214]/50 = 9,9424. Исправленная дисперсия равна S2 = =Ответ:хв = 5,76; Dв = 9,9424; S2 10,145.
Пример 2. Ниже приведены результаты измерения роста (X см) случайно отобранных 100 студентов.
X |
154158 |
158162 |
162166 |
166170 |
170174 |
174178 |
178182 |
mi |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
1). Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии.
2). Построить гистограмму частот.
Решение. 1). В качестве вариантов берут середины интервалов хi: 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180. Они отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях, поэтому можно ввести условные варианты по формуле ui = , гдеС так называемый ложный ноль, (в качестве С рекомендуется выбирать вариант с наибольшей частотой), h – шаг, (он равен расстоянию между вариантами). Значениями условных вариант являются небольшие целые числа и потому многие вычисления существенно упрощаются. Для условных вариантов находят среднее значениеu и средний квадратu2, затем хв и Dв находят по формулам: хв =u h + С; Dв = (u2 (u )2)h2. Здесь
С = 168, h = 4. Составляется расчетная таблица, которая заполняется по формулам, указанным в верхней строке.
хi |
mi |
ui |
miui |
miui2 |
156 |
10 |
-3 |
-30 |
90 |
160 |
14 |
-2 |
-28 |
56 |
164 |
26 |
-1 |
-26 |
26 |
168 |
28 |
0 |
0 |
0 |
172 |
12 |
1 |
12 |
12 |
176 |
8 |
2 |
16 |
32 |
180 |
2 |
3 |
6 |
18 |
å |
100 |
|
-50 |
234 |
В нижней строке указаны суммы чисел по каждому столбцу, с их помощью вычисляются средние значения условных вариант:u= 50:100 = 0,5; u2=234:100 = 2,34. По указанным выше формулам находятся искомые величины: хв = 0,54 + 168 = 166; Dв = (2,34 (0,5)2)42 = 33,44; S2 = 33,44 33,778.
2). На оси ОХ откладываются интервалы и на них строятся прямоугольники, высоты которых вычисляются по формуле Нi = :Н1 = 2,5; Н2 = 3,5; Н3 = 6,5; Н4 = 7; Н5 = 3; Н6 = 2; Н7 = 0,5.
Y
7
1
X
0 154 158 162 166 170 174 178 182
Рис.5.
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М., «Наука»., 1980. -236 с.
2. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. –М.: Изд-во «Наука»., 1971.-352 с.
2. Сахарников Н. А. Высшая математика. Изд-во Ленинград. ун-та, 1973,
-473 с.
3. Фаддеев Д.К., И.С.Соминский Сборник задач по высшей алгебре, -М., «Наука», 1977
4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ,-2000.