§3. Дифференцирование

Пусть однозначная функция w=f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая саму точку z. Тогда предел

==, если он существует, называетсяпроизводной функции f(z) в точке z.

Функция называется дифференцируемой в точке z, если она имеет производную в этой точке.

Теорема. Для дифференцируемости функции w=f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства

,

где u(x,y), v(x,y) вещественная и мнимая части f(z) .

Эти равенства называются условиями Эйлера-Даламбера (или

условиями Коши-Римана).Согласно им, производную можно находить по следующим формулам.

= + i∙; = - i∙;

= + i∙; = - i∙.

Имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного.

1).Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и её ряд Тэйлорасходится к данной функции во всех точках этой окрестности .

2).Вещественная и мнимая части дифференцируемой комплексной функции удовлетворяют уравнению Лапласа:

Другие свойства

3) Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области . Тогдаитакже дифференцируемы в этой области.

4).Если g(z) в области G не обращается в ноль, то дифференцируемав G.

5). Композиция функцийf(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена.

6).Если производная функции w = f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция , и она будет дифференцируема.

7).Производные суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.

Геометрический смысл производной

Пример конформного отображения. Видно, что углы сохраняются.

Аргумента производнойопределяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными.

Теорема 1. Любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль).

С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографиии гидродинамики.

Упражнения 4

1.Вычислить. 1) 2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)

2.Найдпте образы координатных осей Ox Oy при отображениях :

a) w = ; b) w =1 +; c) w = ; d) w = 1- .

3.Вычислить общие и главные значения выражений.

a);b);c).        4. Найти вещественные и мнимые части следующих чисел 

a) cos(2+i); b) sin2i; c) ctg( - iln2).

Глава 5. Дифференциальные уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с независимыми переменными и с ее производными. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок ее производных. Дифференциальное уравнения относительно функции одной переменной называются обыкновенным.

Дифференциальное уравнение относительно функции нескольких переменных называются уравнением с частными производными.

В этой главе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

. (1)

Определение 2. Решением уравнения (1) называется функция y = (x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в верное тождество:

.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. График решения y = (x) называется интегральной кривой этого уравнения. Оказывается, что в общем случае дифференциальное уравнение имеет целое семейство решений, зависящее от параметров , число которых равно порядку этого уравнения, это записывается в виде:

y = (x, ). (2)

Иногда это решение записывается в неявном виде (x,y, ) = 0. В этом случае это равенство называется общим интегралом.