- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Геометрически комплексное число z = a + i∙b изображается как точка с координатами (a, b) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
y C
b z
Im z
x
0 Re z a
Рис.A.
Определение 5. Действительное число |z|=называетсямодулем комплексного числа z = a + i∙b. Геометрически модуль числа z является длиной радиуса-вектора точки (a, b).
Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OX называется аргументом числа z и обозначается arg z: φ = arg z. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных 2π): если, например, φ = π/6, то значения φ, равные π/6 ± 2π∙k, тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям −π < arg z ≤ π, называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ Arg z: Ar gz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Определение 6. Запись комплексного числа в виде
z = |z|(cosφ + i∙sinφ)
называется тригонометрической формой числа z. В тригонометрической форме особо интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел их модули перемножются и аргументы слагаются:
z1·z2 = |z1|·|z2|·[cos(φ1 + φ2) + i∙sin(φ1 + φ2)]
Доказательство. Пусть z1 = |z1|(cosφ1 + i∙sinφ1), z2 = |z2|(cosφ2 + i∙sinφ2). Тогда z1·z2 = |z1|·|z2|·[ (cosφ1 ∙cosφ2 - sinφ1 ∙sinφ2) + i∙(sinφ1∙cosφ2 +
cosφ1∙ sinφ2)] = (cos(φ1 + φ2) + i∙sin(φ1 + φ2)]. Теорема доказана.
Теорема 5. При делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
=∙[cos() +i∙sin)].
Доказательство. Пусть рассматривается деление комплексных чисел. Очевидно, если z2 ≠ 0, z2 =|z2|[cos φ2 + i∙sinφ2], то, согласно теореме 1,
Теорема доказана.
Теорема 6(формула Муавра). Если z = |z|(cosφ + i∙ sinφ), то
z n = |z|n(cos n∙arg z + i∙sin n∙arg z)
Доказательство проводится с помощью математической индукции по показателю степени n.
Теорема 7. При извлечении корня n-ой степени из комплексного числа z производится извлечение корня n–степени из его модуля, а его аргументы делятся на n
= ∙(cos +i∙sin )
Доказательство. По определению, корень n-ой степени из комплексного числа z - это любое число w, такое, что wn = z. Пусть z = |z|∙(cos(Arg z) +
i∙sin(Arg z)), и число w = |w|(cos(arg w) + i sin(arg w)) удовлетворяет предыдущему соотношению. Тогда, по теореме 3, w n = |w| n∙(cos(n∙arg w) + i∙sin(narg w)) = |z|(cos (Arg z) + i∙ sin(Arg z)). Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы. Поэтому |w| n = |z| и n∙ argw = Arg z. Следовательно, |w| =,arg w = =, при этомn различных значений корня n-ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, ..., n−1. Теорема доказана.
Пример 4. Пользуясь формулой Муавра, вычислить, A = .
1).Пусть +i, сначала находится тригонометрическая форма этого числа. || = 2,cos= in= , отсюдаи=2∙.Тогда
2). Аналогично, пусть i, тогда || =, cos = ,=, отсюда, следовательно, =∙ . Тогда.
Теперь, A = =
.
Расстояние между точками z и z0 равно . Тогда верны следующие утверждения.
1). |z − z0| = R - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0. 2). |z − z0| ≤ R - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу. 3). |z − z0| > R - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область. 4). |z − z1| + |z − z2| = 2a - эллипс, построенный на точках z1 и z2, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая - ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами. 5). ||z − z1| − |z − z2|| = 2a - гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние между фокусами 2с = |z1 − z2|, между вершинами 2а (рис.2). Уравнение |z − z1| − |z − z2| = 2a даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z2; неравенство |z − z1| − |z − z2| > 2a - открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы. 6). Re z = a (или x = a) - прямая, параллельная оси Оу. Re z ≥ a - область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую); Re z < a - область слева от прямой (прямая не включена в область). Im z = b (или y = b) - прямая параллельная оси Ох; Im y ≥ b, Im y < b - области, расположенные выше и ниже этой прямой. 7). arg z = α - луч, выходящий из точки z = 0 под углом α к оси Ох. arg(z − z0) = α - луч, выходящий из точки z0 под углом α к оси Ох. α ≤ arg (z - z0) ≤ β - область, расположенная между лучами, выходящими из точки z0 (рис. 3.).
Пример 5. Описать множество точек, изображающей на комплексной плоскости числа, удовлетворяющих условиям:
а). |z – 3 + i|4; b) (Re z2) = 1; c) |z (1+i)| + |z - (1-i)| < 4.
Решение. а). Пусть z = x + iy, тогда z – 3 + i= (x-3)+i(y+1). |z – 3 + i| = ; заданное условие принимает вид:
16. Ответ: это множество точек, лежащих на окружности радиуса 4 и с центром в точке(3,-1) и точки вне этого круга.
b). Пусть z = x + iy, тогда z2 = (+2xyi; (Re z2)= (; заданное условие принимает вид: (= 1. Ответ: это множество точек, лежащих на гиперболе.
c) |z (1+i)| + |z - (1-i)| < 4. z = x + iy, тогда z (1+i) = (x-1)+i(y-1); |z (1+i)| =; z - (1- i) = (x-1)+ i(y +1);
|z - (1-i)| =; заданное условие принимает вид:+< 4. Выше в пункте 4 было отмечено, что это точки эллипса, изображенного на рис. 1.
Замечание. Комплексное число z=x+iy имеет еще две формы записи. Показательная форма:
z = r∙,
где r = модуль числа z, - аргумент z.
В чисто алгебраических исследованиях встречается Матричная форма
z = .
Тригонометрическая интерпретация комплексных чисел непосредственно применяется в электротехнике для изображения переменных синусоидальных токов и напряжений. Здесь аргумент интерпретируется терминами «фаза», "амплитуда».