Глава 3. Поверхности второго порядка

Поверхностями первого порядка являются плоскости, в декартовой прямоугольной системе координат Оxyz . Они задаются уравнениями первого порядка относительно переменных x,y,z, такие уравнения рассматривались в предыдущих разделах.

Уравнениями поверхностей второго порядка являются уравнения 2-го порядка относительно переменных x,y. Как т в случае кривых 2-го порядка, разработаны специальные методы, позволяющие по коэффициентам уравнения определить образ поверхности, определяемой этим уравнением. Эти методы в данном курсе не рассматриваются. Здесь будут рассмотрены только простейшие виды таких уравнений и определяемые ими поверхности.

§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности

1. - уравнение сферы радиуса R с центром в точке :

Пример 1. Найти центр и радиус сферы, задаваемой уравнением:

Решение. Выделяются полные квадраты для каждой переменной:

Или Это уравнение сферической поверхности с центроми радиусом=4.

Следующими наиболее простыми по определению поверхностями, являются цилиндрические поверхности.

Определение 1. Цилиндрической поверхностью называется множество точек, лежащих на прямых, которые пересекают некоторую линию и параллельны заданному векторуЛинияназываетсянаправляющей, а указанные прямые называются образующими. Линия в пространстве задается двумя уравнениями. Пусть направляющая расположена на плоскостиOXY и задана уравнениями , и векторв пространстве имеет координаты. Тогда для каждой точки, лежащей на направляющей, уравнение образующей, проходящей через эту точку, имеет вид:

.

Отсюда получается: . Это подставляют в уравнение направляющей:, полученоискомое уравнение цилиндрической поверхности.

Частные случаи.

а). Если уравнение поверхности не содержит переменную z, то это уравнение является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными осиOZ.

б). Если уравнение поверхности не содержит переменную y, то это уравнение является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными осиOY.

в). Если уравнение поверхности не содержит переменную x, то это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными осиOX.

Пример 2. Построить поверхности:

1)

Решение. 1). В первом уравнении отсутствует переменная z, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ. строится окружность в плоскости OXY, затем проводятся образующие параллельно оси OZ.

2). В втором уравнении отсутствует переменная х, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OХ. Строится парабола в плоскости OYZ, затем проводятся образующие

параллельно оси OХ.

3). В третьем уравнении отсутствует переменная х, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OХ. Уравнение преобразуется к виду и чертится окружность в плоскостиOYZ с центром (0;0;3) и радиусом 3. Затем проводятся образующие, параллельно оси OХ.

Пример 3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {2; 2; 2}.

Решение. По условию, у = 0, тогда в плоскости OXZ строится окружность с центром (0; 0; 0) и радиусом 2. Затем проводятся образующие параллельно вектору{2; 2; 2}.

Определение 2. Конической поверхностью называется множество точек, лежащих на прямых, которые пересекают некоторую линию и проходят через заданную точку. Линияназываетсянаправляющей, а точка С называется полюсом.

Пусть направляющая расположена на плоскостиOXY и задана уравнениями , и- полюс. Тогда для каждой точки, лежащей на направляющей, уравнение образующей, проходящей через эту точку и полюс С, имеет вид:

.

Отсюда получается: . Это подставляют в уравнение направляющей:, полученоискомое уравнение конической поверхности.