§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Общий вид

уравнений: у'' + py' + qy = f(x),

где p, q – числа и f(x) - непрерывная функция в интервале (a; b). Используют следствие 2, согласно которому общее решение имеет вид + y*, где =С₁у₁+С₂у₂ – общее решение соответствующего однородного уравнения и y* - частное решение исходного неоднородного уравнения (3).

Для нахождения y* рассматривается так называемый метод неопределенных коэффициентов, который применяется, когда правая часть уравнения (3) имеет вид:

f(x)=e^x[ P_n(x)cos x + Q_n(x) sin x]

В следующей таблице указаны частные случаи для вида у*.

Вид правой части	Вид формы у* с неопределенными коэфф.
Pn(x)	Pn(x) или xkPn(x),если 0 – k-кратный корень хар.уравнения
	или А, если m – k-кратный корень хар.уравнения
	или, если–k-кратный корень хар.уравнения

Согласно этой таблице, составляется форма для у* с неопределенными коэффициентами. Затем эта форма подставлянтся в исходное неоднородное уравнение. В полученном тождестве приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x и при одинаковых функциях. Получается система уравнений, из которой определяются значения введенных коэффициентов. Эти значения рпределяют вид у* .

Упражнения 5

1.Найти общий и частный интегралы для данных уравнений и соответствующих начальных условий.

a). прих= 2, у = 4; b)., прих = 2, у = 4; .

c)., прих= 2, у = 4; d). прих = 2, у = 4.

2.Найти общее решение. a) ; b). ;c). x+xy+y d). ; e). f). g).

h). .

3. Найти общий интеграл: a) y∙y = 2y - x. b). 2x∙y∙y= 0. c). = (2.e) y +

4. Найти общий интеграл:

a). b). c). d).xy + y= lnx + 1.

e). (+ xy = 1. f).

5. Найти общий интеграл:

a). b). c). d).xy + y= lnx + 1.

e). ( + xy = 1.

6. Найти общий интеграл:

a). b). c). d).

e). f). 7)

7.Найти общее решение:

a). b). c). d).

e). f).

8.Найти общее решение:

9.Найти общее решение:

a). b). c). d).

e). f).

10. Найти частные решения уравнений из предыдущего пункта при следующих начальных условиях:

Ответы к упражнению 5

1a). y=cx, b). y= ; c). +=2c, +=10;d).y=c. 2a).y=c∙; b).y=c∙;c).x+e=lnc(x+1)(e+1); d)= t -e). 3=3x+c;f).y=c;g).; h).ln(+c .3.a.) – ln(y-x)=c;

Глава 8.Элементы теории вероятностей

Случайным событиемназывается явление, которое может либо произойти, либо не произойти в тех или иных определенных, могущих повторяться условиях. Создание или возникновение упомянутых условий означает проведение испытания или опыта. Пусть произведено n испытаний и случайное событие А произошло m раз, тогда отношениеназываетсячастостью этого события А. Если производится несколько серий из большого числа испытаний, и частость случайного события А колеблется около некоторой постоянной величины, то говорят, что А обладаетустойчивой частостью.Теория вероятностей- математическая дисциплина, изучающая закономерности в случайных явлениях с устойчивой частостью.

Создателями теории вероятностей являются Я. Бернулли, П. Лаплас и С. Пуассон. Решающее значение для всего дальнейшего развития этой дисциплины имели работы П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, представителей русской классической школы теории вероятностей второй половины XIX– началаXXвеков.