§4.Приложения определенных интегралов

1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями

y = g(x) (сверху), y = f(x) (снизу), a < b;

y y = g(x)

=

y = f(x)

0 a b x

Рис.2.

2.Вычисление площади фигуры, ограниченной:(слева),x =F(y), (справа)x =G(y) и прямымиy =c,y =d (при этомF(y) <G(y),c< d) вычисляется поформуле:

y d

x = F(y) x = G(y)

=

c

0 x

Рис3.

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x² +1, y = x, y = 5, x = 0.

Решение. y = x² +1 – это уравнение параболы с вершиной С(0; 1);

y = x это прямая, проходящая через начало координат под углом 45^о к оси Ох; x = 0 -это ось Оy. Получают фигуру ОСАВ (см. рис.4).

у

5 А В

D

1 С

0 E

Рис.4.

Требуется найти площадь фигуры АВОС.

Вычисляют координаты точек пересечения А, В:

y = x, y = x² +1,

y = 5,  В(5; 5). y = 5,  А(2; 5).

Так как граница фигуры неоднородная, то фигуру АВОС разбивают на две части ОСАD и DAB. Площадь первой части равна:

Площадь второй части равна:

Площадь всей фигуры АВОС равна 8/3 + 4,5  7,167.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x², хy = 8, y = 9.

Решение. y = x² – это уравнение параболы с вершиной 0(0; 0);

хy = 8 - это уравнение гиперболы, y = 9 - уравнение прямой, параллельной оси Ох. По­лучается фигура АВС (см. рис.5).

у

А В у = 9 9

4 С

x=y x=8/y 0 x

Рис.5.

Применяют вторую формулу для вычисления площадей. Переменную у считают не­зависимой, она принимает значения от у_С до 9. Вычисляют координаты точки С(х_С; у_С):

y = x²,

хy = 8,  С(2; 4).

Тогда 4  y  9. Границы фигуры АВС выражают как функции от у: х = 8/у - левая граница СА, х = у - правая граница СВ. Тогда

3.Рассматривается плоская фигура, ограниченная кривыми

y =f(x),y =g(x) и прямыми x =a,x =b (при этом 0f(x) <g(x),

a< b). Эта фигура вращается вокруг осиОх, тогдаобъем тела, ограниченного поверхностью вращениявычисляется по формуле:

4.Рассматривается плоская фигура, ограниченная кривымиx =F(y),

x =G(y) и прямыми:y =c,y =d (при этом 0F(y) <G(y),c< d). Эта фи­гура вращается вокруг оси Оу, тогдаобъем тела, ограниченного поверхно­стью вращениявычисляется по формуле:

Пример 14. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями: y = x² +1, y = x, y = 5, x = 0.

Решение.Рассматривается фигураАВОСна рис.4 из примера 12. Её разбивают на частиАВЕСиСЕО, и вычисляют объемы тел, об­разованных вращением этих частей.

Для первого тела границы АВЕСпредставляются в виде:х=,

х=у, 1 у5. Тогда объемV₁ первого тела равен:

Для второго тела границы СЕОимеют вид:х=у,х= 0, 0 у1. Тогда объемV_y второго тела равен:

Объем всего тела вращения равен 104,720 + 1,047 = 105,767.