Ответы к упражнениям 1

1. 1) ; 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8); 9); 10) ;

11) ; 12); 13); 14);

15) ; 16); 17); 18); 19);

20) ; 21); 22); 23); 24);

25) ; 26); 27); 28); 29);

30); 31).2. 1) ; 2);

3).3. 1) 2);

3).4. 1) 2);

6. 1) ; 2).

7. 1) 2,25; 2) 10,25; 3) 8,0625; 4) 5,75. 8. 40 км/час. 9. 20 км/сут. 10. 1. 11. 50´100 м². 12. 1) наибольшее 5 при х = 1, наименьшее 15 при х =3; 2) наибольшее 3 при х = 0, наименьшее 13 при х =2; 3) наибольшее 0,6 при х = 4, наименьшее 1 при х = 0; 4) наибольшее 2 при х = 0, наименьшее 0 при х = 2; 5) наибольшее 2 при х = 1, наименьшее 18 при х = 3.

Глава 2. Интегральное исчисление

Интегрирование – это операция, при которой по производной некоторой функции восстанавливается сама функция, т. е. это - операция, противоположная диффе­ренцированию. Для более строгого определения этой операции вводятся следующие понятия.

Определение 1. Первообразной функции f(x) на некотором ин­тервале (a; b) называется функция F(x), производная которой равна f(x) на этом интервале, т. е. для любого х(a; b) выполняется равенство:

(1)

F (x) = f(x)

Пример 1.а). Пусть f(x) = 3х², тогда первообразная равнаF(x) =х³.

Проверка: F¢(x) = (х³)′ = 3х²=f(x) - верно.

б). Пусть f(x) =е^2х+3, тогда первообразная равнаF(x) = 0,5е^2х+3.

Проверка: F¢(x) = (0,5е^2х+3)′ = 0,5∙2е^2х+3=е^2х+3=f(x), верно.

Следующие два свойства дают основной способ описания всех первообразных данной функции.

Свойство 1.Если F(x) –первообразная функцииf(x) на (a;b),то для любого числа с функция F(x) +стак же является первообразной функцииf(x) на (a;b).

Доказательство.ПустьF(x) – первообразная функцииf(x) на (a;b), тогда верно равенство (6), и для любого числа свыполняются равенства: (F(x) +с)= F(x) + с=f(x). Таким образом, функцияF(x) +судовлетворяет (6), поэтому она является первообразнойf(x). Свойство доказано.

Свойство 2.Если F₁(x)иF₂(x) –первообразные одной и той же функции,то эти функции отличаются друг от друга на постоянное число:F₁(x) –F₂(x)с.

Доказательство.Пусть F₁(x)иF₂(x) – первообразные функцииf(x), тогда каждая из них удовлетворяет равенству (6), и выполняется тождество: (F₁(x)- F₂(x))= f(x) -f(x)0. Следовательно, по теореме 3 из §5 главы 5, разностьF₁(x) -F₂(x) есть постоянное число, что и требовалось доказать.

Согласно этим свойствам, все первообразные функции f(x) имеют видF(x) +с, гдеF(x) – некоторая первообразная этойf(x) ис– произвольное число. Поэтому формулаF(x) +сописывает множество всех первообразных функцииf(x).

§1. Неопределенный интеграл

Если функция f(x) имеет первообразную на интервале (a;b), то она называетсяинтегрируемой на (a;b).

Определение 2.Неопределенным интегралом функции f(x)на интервале (a;b) на­зывается множество всех первообразных этой функции.

Обозначение:f(x)dx. В этой записи первый символназываетсяинтегралом, f(x) –подынте­гральнаяфункция,х–переменная интегрирования,dx–дифференциалх.

В силу свойств первообразных, имеет место следующее равенство:

 f(x) dx = F(x) + c

(2)

где F(x) – некоторая первообразная функцииf(x) на заданном интервале, иc– символ константы.

В следующей таблице указаны кратко основные свойства интегралов, ниже эти свойства подробно поясняются и некоторые доказываются.