Правила дифференцирования

1. Производная постоянной функции равна нулю: с' = 0,

2. Постоянный множитель можно выносить: (сu)' = cu',

3. Производная суммы равна сумме производных: (u + v )' = u' + v',

4. Производная произведения: . (uv)' = u'v + uv',

5. Производная дроби: =,

6. Производная сложной функции:

, где u = g(x).

Таблица производных
№	Функция	Производная	Частные случаи производных
1	xn	nxn	= 1, =, =.
2	ах	ахlna.	(еx)' = ex, (еmx)' = memx.
3	logax	.	(ln mx) = .
4	sinx	cosx	(sin mx) = m cos mx.
5	cosx	sinx.	(cos mx) =  m sin mx.
6	tgx	.	(tg mx) =.
7	ctgx		(ctg mx) = .
8	arcsinx		(arcsin mx) =.
9	arccosx		(arcos(mx)) = .
10	arctgx		(arctg(mx)) = .
11	arcctgx		(arcctg(mx)) = .

Примеры 3. Найти производные следующих функций.

1). y = 2х³ 5x² + 7x + 4.

Решение. Последовательно применяются правила дифференцирования 3, 2, 1 и формула 1 из таблицы производных:

у' = (2х³)' (5x²)' + (7x)' + (4)' = 2∙(х³)' 5(x²)' + 7(x)' + 0 = 23х² 52x¹ + 71 = 6х² 10x + 7.

2). у = х²е ^х.

Решение. Применяются правило 4 и формулы 1, 2 из таблицы производных:

у' = (х²)'е ^х + х²(е ^х)' = 2х¹е ^х + х²е ^х = хе ^х(2+х).

3). у = хx(lnx2).

Решение. Выражение хx переписывается как , тогдау = (lnx 2). Применяются правило 4 и формулы 1, 3 из таблицы производных:

у' = (х^3/2)'(lnx 2) + х^3/2(lnx 2)' = (3/2)(х^1/2)(lnx 2) + х^3/2(l/x 0) = 1,5x^.lnx 2x.

Решение.

Следующее правило применяется при вычислении производной сложной функции. Пусть F(x) = (fg)(x) = f(g(x)) - суперпозиция двух функций f(u) и g(x). При этом f(u) - внешняя функция, g(x) - внутренняя функция, буква u - промежуточный аргумент. И пусть существуют: () - производная внутренней функции в точкеи() - производная внешней функции точке=g(). Тогда существуетF '() - производная сложной функцииF(x) = f(g(x)) и верно равкнство:

(1)

F '(x₀) = f_u'(u₀)∙ g_x'(x₀)

Другими словами, производная сложной функции равна произведению прозводной внешней функции на производную внутренней функции.

Примеры 4. Вычислить производные следующих функций.

1). y = log₃ (5x²+3).

Решение. Здесь log₃ (5x²+3)  сложная функция: u = (5x²+3)  внутренняя и у =

log₃u  внешняя функции. По формуле 3, (log₃ u)' = , а (5x²+3) =10x.

Тогда, по формуле (1), =.

Решение. Здесь u = 1 – х²  внутренняя функция и у =u  внешняя функция.

Тогда и u = (1 - x²) = 2x. Следовательно,

Решение. Здесь u =  x²  внутренняя и у = e^u  внешняя функции. Тогда (e^u)' = e^u, и ( x²) = 2x. Следовательно, по формуле (1), y= e^u (2x) = 2x.

4). y = x⁴ (8ln²x 4lnx + 1)/

Решение. По правилу 3, y' = (x⁴)'(8ln²x 4lnx + 1) + x⁴(8ln²x 4lnx + 1)' = 4x³(8ln²x 4lnx + 1) + x⁴(82lnx(1/x) 4(1/x) + 0) = 32x³ln²x.

Из свойств логарифмов следует: y = (2/3)(ln(13x) ln(1+3x))

В следующем примере применяется так называемый метод логарифмического дифференцирования. Если функция y = f(x) получена с помощью операций, удобных для логарифмирования, то сначала находят логарифм этой функции и с помощью соответствующих свойств логарифмов , преобразуют правую часть равенства lny = lnf(x). Затем находят производные от обеих частей этого равенства, при этом считают, что (ln y)= . Из вновь полученного равенства выделяют искомую производнуюу.

Пример 5. Вычислить производную

Решение. Сначала логарифмируют обе части исходного равенства:

Теперь, вычисляют производные от обеих частей этого равенства:

Определение 2. Производная у  = f (x) называется производной 1-го порядка. И ее можно рассматривать как функцию от х. Тогда производная от

f (x) называется производной 2-го порядка и обозначается у = f (x). Это понятие распространяется на все натуральные порядки производных.

Производной n-го порядка от f (x) называется производная от ее производной (n-1)-го порядка, обозначение: y ⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾(x).

Примеры 6. Найти производные второго и третьего порядков.

1). y = x lnx.

Решение. 1). Сначала находят производную 1-го порядка: y = x lnx + х lnx = 1 lnx + x 1/х = lnx + 1. От полученной функции снова берется производная: y = lnx+ 1= 1/х + 0 = 1/х. Аналогично, y⁽³⁾ = (1/х)= 1/х².

2). y = x³ e^x .

Решение. у = х³ е^х + х³ е^х = 3х² е^х + х³ е^х= е^х (3х² + х³) ; у =

e^x (3x² + x³) + e^x (3x² + x³) = e^x (3x² + x³) + e^x (6x +3x²) = e^x (6x² + x³ + 6x);

у⁽³⁾ = е^х (6х² + х³ + 6х) + е^х (6х² + х³+ 6х) = е^х (9х² + х³ +18х + 6).