3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.

Доказательство (см. [1. с. 163]).

x + 2y + z = 8,

Пример 18. Решить методом Крамера систему 3x + 2y + z = 10,

4x + 3y  2z = 4.

Решение. Сначала находят определитель = 14.

Так как А 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам (6). Для этого находят вспомогательные определители:

Тогда х = 14:14 = 1; у = 28:14 = 2; z = 42:14 = 3. Ответ: х = 1; у = 2; z = 3.

Второй метод решения систем называется методом Гаусса. Он применяется к любым системам вида (3) и использует так называемые эквивалентные преобразования систем, которые, по определению, не изменяют множество решений системы. Такими преобразованиями являются:

а) перестановка уравнений;

б) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

в) сложение уравнений.

С помощью этих преобразований система (3) приводится к так называемому виду трапеции:

а₁₁^*х₁ + а₁₂^*х₂ + ... + а_1k^*х_k+ ... + а_1n^*х_n = b₁^*,

а₂₂^*х₂ + ... + а_2k^*х_k+ ... + а_2n^*х_n = b₂^*,

 ….......................................... (7)

а_mk^*х_k + ... + а_mn^*х_n = b_m^*.

Здесь b_i^*, a_ij^*- уже другие числа, полученные в результате указанных преобразований, но эта система равносильна исходной системе (3).

Если в полученной системе (7) число уравнений равно числу неизвестных, то она называется треугольным видом. В ходе преобразований уравнений системы могут возникать равенства следующих видов:

1) 0=0, (такое равенство отбрасывается, при этом число уравнений уменьшается);

2) 0 = b, гдеb0, (в этом случае говорят, чтополучено противоречиеи потому система не имеет решений).

Теорема Гаусса.Пусть система (3) эквивалентными преобразованиями приведена к виду (7). Тогда:

1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;

2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;

3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.

Доказательство (см. [1. с. 169]).

Метод Гаусса наиболее важен для практики и по сравнению с другими методами имеет следующие достоинства:

1) он менее трудоемкий, позволяет легко установить, является ли данная система совместной или несовместной;

2) в случае совместности системы он позволяет легко определить, является ли данная система определенной или неопределенной;

3) в случае определенной системы, ее единственное решение вычисляется с помощью несложной процедуры, (см. пример 18);

4) в случае неопределенной системы он позволяет легко построить так называемые базисные решения, с помощью которых описывается множество всех решений данной системы.

3x + 2y + z = 10,

Пример 19. Решить методом Гаусса систему x + 2y + z = 8,

x + 3y 2z = 4.

Решение. 1-й шаг. На первое место переставляют уравнение, в котором коэффициент при первой неизвестной х равен 1, поэтому меняются местами 1-е и 2-е уравнения:

x + 2y + z = 8,

3x + 2y + z = 10,

x + 3y 2z = 4.

2-й шаг. 1-е уравнение умножаеют на 3 и прибавляют ко 2-му уравнению, затем опять 1-е уравнение умножают на  и прибавляют к 3-му уравнению, получают равносильную систему:

хyz

yz

yz.

3-й шаг. 2-е уравнение умножают на 5, 3-е уравнение умножают на 4, и получаеют равносильную систему:

хy z

yz

yz.

4-й шаг. К 3-му уравнению прибавляют 2-е уравнение и получают систему в треугольном виде:

хy z

 yz 

  z.

5-й шаг. Полученная система не содержит противоречий, и в ней число уравнений равно числу неизвестных. Следовательно, исходная система имеет единственное решение, которое находится следующим образом. Из 3-го уравнения находят значение для z: z = 42:(14) = 3. Это значение подставляют во 2-е уравнение и находят значение для у: у = ( 103):20 = 2. Далее, найденные значения подставляют в 1-е уравнение, и находят значение х: х = 8  22  3 = 1. Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

Другие из указанных выше достоинств этого метода будут рассмотрены в следующем параграфе.

Замечание 3. Иногда метод Гаусса применяют с использованием матричной записи (4) данной системы. При этом вместо уравнений производят преобразование так называемой расширенной матрицы:

А* = (8)

Допускаются следующие три преобразования А*: а) перестановка строк, б) умножение строки на число, отличное от нуля, в) сложение строк. С помощью этих преобразований матрица А* приводится к виду трапеции:

(9)

По этой матрице восстанавливается система (7) и производятся указанные выше действия.

Третий метод решеня систем линейных уравнений называется матричный, он применяется к квадратным системам вида (5), использует их матричную форму записи (4) и основан на следующих рассуждениях. Пусть АХ = В – матричная форма системы (5), при этом матрица А имеет обратную матрицу А^1. При умножении слева обеих частей данного матричного равенства на обратную матрицу получают равенство: А^1(АХ) =А^1В. Отсюда, согласно матричным свойствам 7, 8 и соотношению (1), последовательно получают равенства:

(А^1А)Х = А^1В, Е_nХ = А^1В, Х = А^1В

Последнее равенство Х = А^1В есть матричная записьрешения системы.

x + 2y + z = 8,

Пример 20. Решить систему уравнений 3x + 2y + z = 10,

x + 3y 2z = 4,

с помощью обратной матрицы.

Решение. Сначала вводят следующие обозначения:

С помощью этих обозначений систем записывают в матричном виде: АХ = В, ее решение имеет вид Х = А^1В. Тогда сначала находят обратную матрицу А^1. Определитель А=14 был найден в примере 18, тогда находят соответствующие алгебраические дополнения и применяют формулу (2).

Получилось:

Тогда

Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.