- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
§1. Производная функции одной переменной……………………………….5
§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции……………11
§3. Основные теоремы о дифференцируемых функциях………………18
§4. Исследование функций на монотонность и экстремум……………20
§5. Вогнутость и точки перегиба……………………. ………………………………27
ГЛАВА 2. Интегральное исчисление………………………………………………………….37
§1. Неопределённый интеграл………………………………………………………38
§2. Методы интегрирования………………………………………………………….43
§3. Определенный интеграл……………………………………………………………49
§4. Приложения определенного интеграла……………………………………54
§5. Несобственные интегралы……………………………………………………….58
ГЛАВА 3. Функции нескольких переменных……………………….……………………61
§1. Евклидово n-мерное пространство……………………………………………63
§2. Экстремумы функций двух переменных…………………………………70
§3. Метод наименьших квадратов …………………………………………………72
ГЛАВА 4. Функции комплексного переменного………….……………………………76
§1. Определение и геометрическое и изображение……………………76
§2. Элементарные функции комплексного переменного………………81
§3. Дифференцирование…………………………………………………………………84
ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения…………………………………………………88
§1. Уравнения 1-го порядка……………………………………………………………89
§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка…………………………95
§3. Линейные уравнения 2-го порядка…………………………………………98
§4.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ………102
ГЛАВА 6. Элементы теории вероятностей……….……………………………107 §1.Определение вероятности и ее свойстыва…………………….107
§2. Повторные независимые испытания……………………………114
§3. Случайные величины……………………………………………………120
§4. Закон больших чисел……………………………………………………132
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Элементы комбинаторики…………………………………137 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Математико-статистические таблицы……………..144
Библиографический список………………………………………………………….145
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Важнейшим понятием современной математики является понятие производной функции. Оно возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение задачи о касательной к графику функций, о поиске экстемумов функции, о мгновенной скорости неравномерного движени, и на решение некоторых других задач. Эти задачи интересовали математиков с давних времён, и накопившийся в этом направлении обширный материал получил теоретическое завершение лишь в конце XVII века в трудах Ньютона и Лейбница.
§1. Производная функции одной переменной
Пусть функция у = f(x) определена во всех точках некоторого интервала (а; b) и точка хо принадлежит этому интервалу. Пусть х другая точка из (а; b), тогда разность х = х хо называется приращением аргумента x и разность у = f(x) f(xo) называется приращением функции f(x), соответствующим приращению х.
Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке хо называется предел отношения у к х, когда х стремится к нулю, если этот предел существует, обозначение: .
Пример 1. Вычислить производную функции у = х3 в точке хо = 2.
Решение. По условию, х = х 2, у = х3 23 и х 0. Тогда = = ,x2 и = = 12.Следовательно, .
Пример 2. Вычислить производную функции у = lnx в точке хо.
Решение. По условию, х = (х хо) и у = (lnx ln хо). Последнее выражение преобразовывается следующим образом. у ln(хо +x) ln = , Отсюда =. Пусть, тогда=∙, и0 при х0. Отсюда, по второму замечательному пределу, следует: ==. Таким образом, = , и при произвольномx верна формула . Специальными методами доказываются формулы из следующих таблиц.