- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
Учебные пособия
Министерство образования и науки РФ
Алтайский государственный университет
В.А. Ганов, Р.В. Дегтерева
ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Часть 1
(Линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа,
разложение рациональных дробей, введение в математический анализ)
Издательство
Алтайского государственного
университета
2014
УДК
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
А. И. Будкин
доктор физико-математических наук, профессор
Г. М. Полетаев
Ганов В.А., Дегтерева Р.В.
ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ [Текст]: учебное пособие: в 2 ч.
/Ганов В.А., Дегтерева Р.В.Ч.1.- 2-е изд-е, перераб. и доп.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2014.-129 с.
В первой части пособия (первое издание 2009 г.) излагаются начальные понятия, теоремы и формулы линейной алгебры, аналитической геометрии, включая пверхности 2-го порядка, комплексных чисел, разложения рациональных дробей и введения в математический анализ в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами по направлениям подготовки бакалавров «Техносферная безопасность».
По каждой теме приведены примеры и задачи для самостоятельной работы.
УДК
Настоящее издание опубликовано в рамках реализации Программы стратегического развития Алтайского государственного университета
USBN
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………......4
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ …………….………….7
§1. Числовые матрицы и определители ………………….…………7
§2. Обратная матрица……………………………………….……… 17
§3. Системы линейных уравнений…………………………………19
§4. Ранг матрицы и неопределенные системы………………….…27
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…………………………39
§1. Декартова система координат…………………………………39
§2. Уравнение прямой линии на плоскости…………………..…..43
§3. Кривые линий второго порядка………………………….…….47
§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве……………56
§5. Скалярное произведение векторов…………………….….…....62
§6. Векторное и смешанное произведения векторов……………64
§7. Плоскость и прямая линия в пространстве…………………….67
ГЛАВА 3.Поверхности второго порядка…………………………78
§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности...78
§2.Стандартные поверхности 2-го порядка…………………..…81
§3. Поверхности вращения………………………………………..83
ГЛАВА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА……………………………85
§1. Алгебраическая форма комплексных чисел…………………85
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа……………89
ГЛАВА 5. Разложение рациональных дробей……………………95
ГЛАВА 6. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……100
§1. Числовые функции……………………………………………100
§2. Простейшие функции…………………………………………104
§3. Бесконечные величины и предел функции…………………115
§4. Непрерывные функции……………………………………...122
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………128
ВВЕДЕНИЕ
В процессе перехода к рыночным отношениям возрастает степень ответственности управленческих решений, принимаемых на всех уровнях и во всех сферах социальной деятельности. Ошибочно принятые решения в условиях рынка могут привести не только к снижению эффективности работы предприятия, но и к его финансовому краху со всеми вытекающими отсюда последствиями. И, наоборот, эффективные управленческие решения способствуют повышению конкурентноспособности предприятия, увеличению прибыли и доходов, как самого предприятия, так и всех его работников. Важную роль в повышении качества и оперативности принимаемых решений будут играть математические методы исследования, особенно ориентированные на применение персональных компьютеров.
Использование этих методов в управлении позволит получать значительно большее количество информации, производить альтернативные, многоцелевые расчеты, находить оптимальные решения по различным критериям, моделировать ситуации, реализация которых в натуральном виде либо невозможна, либо требует огромных затрат.
Целью данной дисциплины является изучение студентами основных понятий математического аппарата, развитие навыков логического мышления, освоение приемов решения формализованных задач и выработка умения самостоятельно изучать прикладную математическую литературу.
Современный философ и математик академик А. Д. Александров предлагает рассматривать математику как идеальный мыслительный инструмент. Что же это за инструмент и как он применяется в различных сферах человеческой деятельности? Математика - это прежде всего язык формул. Этот язык содержит символы констант, переменных, символы математических операций, функций и отношений, а также вспомогательные символы, такие как скобки и запятые. С помощью таких символов по определенным правилам образуются математические формулы. Используя такой язык, строятся формальные системы, описывающие различные математические теории. При этом некоторые формулы объявляются аксиомами, они описывают основные законы рассматриваемой математической теории. Кроме того, вводятся специальные правила вывода, позволяющие переходить от одних формул к другим. Такие правила описывают законы правильных рассуждений в математике. С помощью правил вывода и аксиом доказываются теоремы, описывающие свойства данной теории. Цель каждой математической теории описать всевозможные истинные теоремы этой теории.
Применение математики в техносфере и в других областях осуществляется путем моделирования исследуемого физического, экономического или социального процесса. Для этого строится подходящая формальная система, в которой символы констант и переменных обозначают основные объекты исследуемого процесса, а символы функций и отношений описывают зависимости и связи между объектами. При этом формальная система строится так, чтобы свойства ее элементов совпадали с истинными свойствами объектов моделируемого процесса. Тогда новые зависимости и отношения между элементами системы будут предсказывать поведение реальных объектов этого процесса.
В настоящее время применение математики производится по двум направлениям: 1) обработка статистических данных и исследование зависимостей в реальных экономических и социальных процессах; 2) обоснование правильности принятия того или иного решения в исследуемой ситуации. На первом направлении используются такие разделы математики, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, функции нескольких переменных, теория вероятностей и математическая статистика. На втором направлении применяются методы линейного программирования, системы массового обслуживания, сетевые и игровые модели.
Данное пособие состоит из 5 глав, отражающих основные разделы государственной образовательной программы дисциплины «Высшая математика» для студентов университетов, обучающихся по направлению подготовки 280700.62 «Техносферная безопасность».
Главы разбиты на несколько параграфов, в которых рассматриваются основные понятия соответствующего раздела. Свойства описываемых объектов иллюстрируются подробными примерами, а некоторые теоремы снабжены доказательствами. В каждой главе в рубрике «Упражнения» приведены задачи для проведения учебных практических занятий и самостоятельной работы, а в конце пособия даны ответы к этим задачам. Нумерация параграфов, примеров, определений, формул и теорем в каждой главе своя.