emph_f

Здесь коэффициенты k равны 1 или нулю соответственно, причем знаки коэффициентов k и определяют тип уравнения (3.1). Преобразованное уравнение (3.4) принимает вид

который и является его каноническим видом.

Предположим, что все k отличны от нуля, т. е. что уравнение (3.1) не является параболическим, и покажем, что в этом случае при помощи преобразования функции u можно освободиться от производных первого порядка. С этой целью вместо u введем новую функцию v по формуле

Подставив (3.11) в (3.10), получим, как легко проверить, уравнение вида

X

n @2v

k @ 2 + c1v = f2( 1; :::; n):

k=1 k

Для эллиптического уравнения все k равны 1 или 1. Поэтому умножая, если надо, обе части этого уравнения на ( 1), мы можем считать, что все k равны 1. Это означает, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к уравнению, имеющему в прежних обозначениях вид

X

k=1 k

В случае уравнения гиперболического типа удобно считать, что уравнение (3.1) рассматривается в области из пространства Rn+1. Тогда, заменив в (3.1) и (3.2) n на n + 1 и полагая n+1 = t, приходим к выводу, что всякое линейное уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами приводится к следующему каноническому виду:

В случае, когда коэффициенты уравнения (3.1) переменны, для каждой точки x0 = (x01; :::; x0n) области можно указать такое невырожденное преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (3.1)

141

к каноническому виду в этой точке. Для каждой точки x0 имеется, вообще говоря, свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; в других точках это преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду. Примеры показывают, что дифференциальное уравнение с числом независимых переменных больше двух (если исключить случай постоянных коэффициентов), вообще говоря, невозможно привести с помощью преобразования независимых переменных к каноническому виду даже в сколь угодно малой области. В случае же двух переменных такое преобразование независимых переменных существует при достаточно общих предположениях о коэффициентах уравнения, как будет показано в следующем пункте.

2.3.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Рассмотрим в области

R2 уравнение, линейное относительно вторых производных, вида:

Здесь A; B; C 2 C2( ) – заданные функции, F – непрерывная функция своих аргументов. Будем предполагать, что коэффициенты A; B и C не обращаются одновременно в нуль. Если F – линейная функция, т. е. F =

A1(x; y)@u=@x + B1(x; y)@u=@y + C1(x; y)u + f(x; y), то уравнение (3.14) является линейным. Пусть (x0; y0) 2 – произвольная точка. Сопоставив уравнению (3.14) квадратичную форму ( ; ; x0; y0) : R2 ! R, действующую согласно (1.12) по формуле

выводим на основании определения 1.2, что уравнение (3.14) имеет в : 1) гиперболический тип, если B2 AC > 0 в . В этом случае квад-

ратичная форма (3.15) знакопеременная. Это означает, что для каждой точки (x0; y0) 2 существует хотя бы один элемент (t01; t02) 2 R2 такой,

что (t01; t02; x0; y0) > 0, и хотя бы один элемент (t001; t002) 2 R2 такой, что

(t001; t002; x0; y0) < 0;

2) параболический тип, если B2 AC = 0 в (квадратичная форма (3.15) знакопостоянна), т. е. выполняется условие:

(t1; t2; x0; y0) 0 либо (t1; t2; x0; y0) 0 8(t1; t2) 2 R2; (x0; y0) 2 ;

3) эллиптический тип, если B2 AC < 0 в . В этом случае форма (3.15) знакоопределена, т. е. с некоторой константой > 0 выполняется условие:

(t1; t2; x0; y0) (t21+t22) либо (t1; t2; x0; y0) (t21+t22) 8(t1; t2) 2 R2:

142

Первое условие здесь выполняется при A > 0, второе – при A < 0. Случаи, когда выражение B2 AC меняет знак в , т. е. когда уравнение

(3.14) имеет смешанный тип, мы не будем рассматривать.

Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных x; y привести уравнение (3.14) к каноническому виду в некоторой окрестности фиксированной точки (x0; y0) 2 . С этой целью введем в

От функций ' и в (3.16) потребуем, чтобы они были дважды непрерывно дифференцируемы и чтобы их якобиан был отличен от нуля в :

143

торые из коэффициентов A, C, B в нуль хотя бы в некоторой окрестности

точки (x0; y0) 2 . Ясно, что вопрос об обращении в нуль A и C эквивалентен вопросу о разрешимости следующего нелинейного дифференциального

В соответствии с введенным выше предположением коэффициенты A; B и C принадлежат классу C2 в некоторой окрестности точки (x0; y0) и нигде в ней не обращаются одновременно в нуль. Для определенности можно считать, что A 6= 0 в этой окрестности. Действительно, в противном случае должно выполняться одно из условий B 6= 0 или C 6= 0. Если C 6= 0, то, меняя местами x и y, получим уравнение, у которого A 6= 0. Если же C 0, и, следовательно, B 6= 0, то после замены переменных x0 = x+y и y0 = x y приходим к уравнению с A 6= 0. В дальнейшем будем, более того, считать, что A > 0 в рассматриваемой окрестности точки (x0; y0). В силу условия A > 0 уравнение (3.21) можно после умножения на A переписать в виде

Следовательно, решения каждого из уравнений (3.22) и (3.23) являются решениями уравнения (3.21). Уравнения (3.22), (3.23) являются линейными уравнениями в частных производных первого порядка. Как показано в § 2.2, они интегрируются методом характеристик, который сводит нахождение их решений к нахождению решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основываясь на методе характеристик, составим соответствующие уравнениям (3.22), (3.23) системы обыкновенных уравнений для нахождения их

144

или

только они) являются решениями уравнений (3.22) и (3.23) соответственно, а следовательно, и решениями уравнения (3.21). Заметим, что указанное предложение имеет место, если коэффициенты уравнений (3.24) и (3.25) не обращаются в нуль одновременно. Последнее, очевидно, выполняется в силу условия A > 0.

Характеристики уравнений (3.22) и (3.23), определяемые как интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений (3.24) и (3.25) соответственно, мы будем называть также характеристиками исходного уравнения (3.14), а уравнения (3.24), (3.25) – уравнениями характеристик

уравнения (3.14). Позже в § 2.4 мы введем строгое определение характеристики общего уравнения 2-го порядка в пространстве n измерений, из которого в качестве частного случая будет вытекать приведенное здесь определение характеристик уравнения (3.14). Отметим, что уравнения (3.24), (3.25) могут быть записаны формально в виде одного легко запоминающе-

Поведение интегралов уравнений (3.24), (3.25), а следовательно, и искомый простейший вид уравнения (3.14) зависит от знака величины B2 AC. Нетрудно проверить, что

Следовательно, знак не меняется при преобразованиях независимых переменных, удовлетворяющих условию (3.17).

Вернемся теперь к нашей задаче упрощения уравнения (3.14), причем каждый тип будем изучать в отдельности.

1. = B2 AC > 0 в : уравнение (3.14) имеет гиперболический тип. Выберем в качестве искомых функций ' и в (3.16) решения задач Коши для уравнений (3.22) и

145

(3.23) соответственно при условии, что данные Коши для ' задаются на некоторой линии l1, проходящей через точку (x0; y0) и нигде не касающейся характеристик уравнения (3.22), тогда как данные Коши для

задаются на другой, вообще говоря, линии l2, нигде не касающейся характеристик уравнения (3.23). Если линии li и заданные на них значения функций ' и выбрать достаточно гладкими, например из класса C2, то с учетом принадлежности коэффициентов A; B и C этому же классу C2 мы получим в силу теоремы 2.5 решения ' и ,

имеющие непрерывные производные по x и y до второго порядка включительно. Если предположить, кроме того, что начальные значения функции ' на l1 и на l2 выбраны так, что производные от ' по направлению l1 и от по направлению l2 не обращаются в нуль в точке (x0; y0), то в этой точке не могут быть равными нулю одновременно обе частные производные функций ' и по x и y (ибо тогда равнялись бы нулю производные в этой точке от ' и по любому направлению). Так как A 6= 0, то из уравнений

Отсюда следует, что D 6= 0 в .

Таким образом, выбранные указанным способом семейства характеристик (3.26) образуют два семейства координатных линий, по крайней мере в окрестности рассматриваемой точки (x0; y0), а переменные и в (3.16) можно принять за новые координаты. Кроме того, из (3.20) вытекает, что A = C 0, а из (3.28) следует, что B 6= 0. Разделив (3.19) на 2B, получим

где F1 = F=2B. Это – канонический вид уравнения гиперболического типа. Существует и другой канонический вид, а именно:

Он получается из (3.30) заменой = ( )=2, = ( + )=2.

146

2.= B2 AC = 0 в : уравнение (3.14) имеет параболический тип.

Вэтом случае оба уравнения (3.22) и (3.23) совпадают и принимают вид

щие такой функции координатные линии совпадают с прямыми x = const.

Покажем, что C 6= 0. Действительно, если C = 0 в точке (x0; y0) 2 ,

Рассматривая (3.32) и (3.34) как систему линейных алгебраических урав-

этом случае коэффициенты уравнений (3.24), (3.25) и их первые интегралы (3.26) являются комплексными величинами. Если предположить, что коэффициенты A; B и C – аналитические функции от x; y в окрестности точки (x0; y0) 2 , то коэффициенты уравнений (3.22) и (3.23) также являются аналитическими функциями от x и y. Тогда можно показать, что в некоторой окрестности точки (x0; y0) 2 существует аналитическое решение z уравнения (3.22), у которого в этой окрестности производные @z=@x и @z=@y не обращаются одновременно в нуль. При этом комплексносопряженная к z функция z удовлетворяет уравнению (3.23).

147

Чтобы доказать существование аналитического решения уравнения (3.22), перепишем уравнение (3.22) после деления на A в виде

разрешенном относительно @z=@x, и зададим начальные значения функции z на некотором отрезке x = x0, проходящем через точку (x0; y0), в виде аналитической функции z0 переменной y. В таком случае указанный факт вытекает из теоремы Ковалевской, примененной к задаче Коши для уравнения 1-го порядка (3.36), нормального относительно переменной x (см. п. 2.1.4). Если к тому же начальную функцию z0 выбрать так, что dz0=dy 6= 0, то в некоторой окрестности точки (x0; y0) будет выполняться

условие @z=@y 6= 0. Введем далее вещественные функции ' и по формулам ' = (z + z )=2, = (z z )=2i. Ясно, что '; 2 C1, причем якобиан

D('; )=D(x; y) отличен от нуля, ибо

Сучетом этого функции ' и можно выбрать в качестве искомых в (3.16). Осталось выяснить, какой вид примет уравнение (3.14) в этих перемен-

где F3 = F nA. Это – канонический вид уравнения эллиптического типа. Итак, предположив, что A, B и C – аналитические функции точек

148

(x; y), мы привели исходное уравнение (3.14) к каноническому виду (3.37) в окрестности некоторой точки (x0; y0), в которой существуют аналитические решения уравнений (3.22), (3.23) с отличными от нуля производными по y. Используя более сложные рассуждения, можно показать, что такое приведение возможно без предположения об аналитичности коэффициентов A, B и C, но при условии, что A, B и C 2 C2 (см. [11, с. 66]).

§ 2.4. Постановка задачи Коши. Характеристики уравнения второго порядка

2.4.1. Постановка задачи Коши. Характеристическая поверхность. Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка

Здесь коэффициенты aij – заданные вещественные функции координат x1, x2, ..., xn точки x, изменяющейся в некоторой области Rn, f – заданная вещественная функция своих аргументов, причем предполагается,

что aij = aji, i; j = 1; 2; :::; n. Пусть в области задана гладкая (n 1)– мерная поверхность S (рис. 4.1), и в каждой точке S задано векторное поле

направлений l, некасательное к S и гладко изменяющееся при движении вдоль S. В качестве такого поля можно взять, например, поле нормалей n к поверхности S.

На поверхности S зададим значения функции u и ее производной @u=@l:

в (4.2), (4.3) – как на данные Коши либо начальные функции. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (4.1). Она заключается в нахождении в некоторой окрестности поверхности S решения уравнения (4.1), удовле-

частные производные 1-го порядка на поверхности S. Предположим теперь, что уравнение (4.1) выполняется в каждой точке x 2 S, причем все коэффициенты и решение u

L

S

149

уравнения (4.1) бесконечно дифференцируемы в окрестности поверхности S. Ясно, что если u – искомое решение задачи Коши (4.1)–(4.3) в некоторой окрестности поверхности S, то в этой окрестности так же, как на самой поверхности S, можно найти производные от u любого

порядка. При этом производные второго порядка @2u=@xi@xj необходимо удовлетворяют уравнению (4.1). Другими словами уравнение (4.1) играет роль необходимого условия совместности указанных производных второго порядка. Если, далее, уравнение (4.1) продифференцировать один или несколько раз, то полученное уравнение на S будет играть роль необходимого условия совместности для производных более высокого порядка. С учетом приведенного анализа сформулируем теперь следующую вспомогательную задачу: с помощью уравнения (4.1) и условий Коши (4.2), (4.3) однозначно определить на поверхности S все производные второго и более высокого порядков от искомого решения u.

Рассмотрим сначала случай, когда условия Коши имеют вид

т. е. когда данные Коши заданы на гиперплоскости x1 = x01, а в качестве поля l выбрано поле нормалей n к этой гиперплоскости, направленное по оси x1. Условия (4.4), очевидно, позволяют определить при x1 = x01 (c помощью дифференцирования функции '0 или '1) все производные первого порядка и все производные второго порядка, кроме @2u=@x21. Чтобы определить @2u=@x21, необходимо воспользоваться самим уравнением (4.1), положив в нем x1 = x01. На этом пути возможны два случая: 1) a11(x01; x2; :::; xn) 6= 0,

2)a11(x01; x2; :::; xn) = 0.

Впервом случае мы однозначно определим вторую производную @2u=@x21

на гиперплоскости x1 = x01, а также производные более высоких порядков путем дифференцирования уравнения (4.1) и условий (4.4). Во втором случае мы придем к невозможному равенству или получим тождество относительно @2u=@x21, т. е. придем к несовместности или неопределенности при нахождении производных второго, а также более высокого порядка на гиперплоскости x1 = x01. Это означает, что в последнем случае поставленная выше вспомогательная задача нахождения всех производных от решения u на гиперплоскости x1 = x01 либо неразрешима, либо имеет много решений.

Рассмотрим теперь общий случай, когда условия Коши (4.2), (4.3), где поле l совпадает для конкретности с полем нормалей n, заданы на некото-

150