emph_f

Так как, с другой стороны, v(x1; t) v(x2; t) = R x2 @v(x;t)dx, то из (8.11)

приходим к соотношению

x1 @x

Из него с учетом произвольности x1 и x2 следует в силу леммы 1.1, что

Чтобы получить второе уравнение относительно I и v, воспользуемся фундаментальным законом сохранения количества электричества на участке (x1; x2). Согласно этому закону количество электричества

Z x2 @I

I(x1; t) I(x2; t) = x1 @xdx;

протекающего через рассматриваемый участок (x1; x2) провода за едини-

цу времени, равно сумме количества электричества C R x2 (@v=@t)dx, необ-

x1

ходимого для зарядки этого участка провода и количества электричества

G R x2 vdx, “утекающего” из провода вследствие несовершенства изоляции.

x1

С учетом этого приходим к следующему соотношению:

Из него, как и выше, получаем уравнение

Уравнения (8.12), (8.14) и представляют собой искомую математическую модель относительно величин I и v, описывающую при сделанных выше предположениях распространение электрических колебаний в проводах.

1.8.4. Телеграфное уравнение. Как уже указывалось в § 1.6, с математической точки зрения удобнее работать с одним скалярным уравнением относительно одной неизвестной функции v или I, нежели с двумя уравнениями относительно двух функций v и I. Чтобы получить соответствующее уравнение, продифференцируем уравнение (8.12) по x, а уравнение (8.14)

– по t и затем из найденных выражений исключим производную @2I=@x@t. В результате получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка относительно v:

81

Аналогично выводится уравнение для силы тока I, имеющее вид

Таким образом, напряжение v и сила тока I удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению вида

Здесь постоянные коэффициенты a0; b0; c0 определяется формулами: a0 =

LC, 2b0 = RC + GL, c0 = GR. (8.15) называют телеграфным уравнением.

Если ввести новую функцию u, полагая w = e( b0=a0)tu, то уравнение (8.15) примет более простой вид:

где a = 1=pa0, b = pb20 a0c0=a0. Если, кроме того, пренебречь потерями через изоляцию и сопротивлением току, полагая G = R = 0, то (8.16) переходит в одномерное волновое уравнение

p

где a = 1=LC. Интересно, что к этому же уравнению сводится уравнение (8.16) в случае, когда G и R не равны нулю, а связаны между собой соотношением GL = RC. При выполнении этого условия электрические линии называются линиями без искажения. Присоединив к (8.16) или (8.17) начальные условия вида (8.5) и соответствующие краевые условия на концах провода x = 0 и x = l, приведённые, например в [21, c. 97], получим начально-краевую задачу, которую необходимо решить для нахождения искомой функции u. Впрочем, в некоторых случаях провод является настолько длинным, что его можно считать простирающимся в обе стороны до бесконечности. В этом случае для выделения единственного решения достаточно задать лишь начальные условия на всей вещественной оси R (cм. об этом подробнее в [21, гл. 7]).

1.8.5. Уравнение Шрёдингера. Рассмотрим в пространстве R3 внешнее потенциальное силовое поле с потенциалом V (x), x 2 R3. Предположим, что под действием указанного силового поля движется квантовая частица массы m. Состояние частицы в квантовой механике принято описывать с помощью так называемой волновой функции (см., например, [31]). Согласно определению волновой функции выражение j (x; t)j2dx описывает вероятность того, что частица будет находиться в окрестности точки

82

x в момент времени t. В квантовой механике постулируется (см., например, [31]), что поведение функции описывается так называемым уравнением Шрёдингера, названным так в честь известного австрийского физика Schro•dinger (1887–1961). Оно имеет вид

p

Здесь i = 1, ~ = 1; 054 10 27эрг.с – постоянная Планка, введенная знаменитым немецким физиком M. Plank (1858–1947). Если энергия E частицы имеет определенное значение, то такое ее состояние называется стационарным. В этом случае волновая функция представима в виде

Здесь – стационарная волновая функция, удовлетворяющая в силу (8.18) стационарному уравнению Шредингера

Если V = 0, что физически отвечает случаю свободной частицы, то стационарное уравнение Шредингера превращается в уравнение

формально совпадающее с уравнением Гельмгольца (6.37). Уравнения (8.18) и (8.19) представляют собой простейшие математические модели, используемые в квантовой механике. Начальные и краевые условия для них формулируются так же, как и для уравнения теплопроводности либо уравнения Пуассона.

1.8.6. Уравнение переноса излучения. Если длина свободного пробега частиц среды значительно больше их размеров, то для описания процесса распространения частиц вместо приближения сплошной среды используется другое приближение, приводящее к так называемому уравнению переноса. Следуя [11, c. 51], приведем здесь уравнение переноса при следующих предположениях:

1)скорости всех частиц одинаковы и равны v;

2)столкновения частиц пренебрежимо редки;

3)частицы сталкиваются с неподвижными ядрами среды; l(x) – их средняя длина свободного пробега в точке x;

4)при столкновении частицы с неподвижным ядром в точке x происходит одно из следующих трех случайных событий: a) с вероятностью p1(x)

83

частица рассеивается на ядре, отскакивая от него, как упругий шарик; b) с вероятностью p2(x) частица захватывается ядром; c) с вероятностью p3 = 1 p1 p2 частица делит ядро, в результате чего появляется (x) > 1 таких же частиц (при этом считается, что частица, разделившая ядро, исчезает);

5) распределение частиц по направлениям как после рассеяния, так и после деления является равномерным (т. е. изотропным).

Обозначим через n(x; s; t) плотность частиц в точке x, летящих в на-

правлении s = (s1; s2; s3), jsj = 1, в момент t, через F (x; s; t) - плотность объемных источников. Введём функцию = vn , зависящую от x; s,

t и называемую потоком частиц. Можно показать, что при указанных

где = 1=l, h = p1 + p3. Уравнение (8.21) называется односкоростным уравнением переноса для процессов с изотропным рассеянием.

Если процесс переноса стационарен, так что функции и F не зависят от t, то уравнение переноса (8.21) принимает вид

Уравнения (8.21) и (8.22) представляют собой простейшие математические модели, используемые в теории переноса излучения.

84

ГЛАВА 2. Общие вопросы теории уравнений

вчастных производных

§2.1. Основные понятия теории уравнений в частных

производных

2.1.1. Уравнения в частных производных и их решения. В гл. 1 на достаточно большом количестве примеров было показано, что математическое моделирование физических процессов приводит к необходимости решения начально-краевых либо краевых задач для волнового уравнения, уравнения теплопроводности, уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца и других дифференциальных уравнений либо их систем. Указанные уравнения являются важными представителями широкого класса математических объектов, называемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

В общем случае под дифференциальным уравнением в частных производных, рассматриваемым в некоторой области пространства Rn, понимается соотношение, связывающее неизвестную функцию u : ! R независимых переменных x1; ; xn – координат произвольной точки x 2 и частные производные от функции u вида

Здесь F – заданная функция своих аргументов. Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение (1.1), называется порядком уравнения в частных производных. В соответствии с введенным определением уравнение (1.1) является уравнением второго порядка, если F явно зависит хотя бы от одной производной второго порядка, скажем r = @2u=@x21, в том смысле, что @F=@r 60, причем F не зависит от производных более высокого порядка.

Общее уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными x и y может быть записано в виде

Здесь F – заданная функция своих аргументов. В частности, она может не зависеть от x; y; u и одной из производных p = @u=@x или q = @u=@y, но непременно должна зависеть от другой производной, так что выполняется условие

85

моделирует нестационарные процессы переноса тепла и диффузии вещества, диффузию электромагнитного поля в электропроводящей среде и т. д. Волновое уравнение

моделирует распространение в однородных средах звуковых и электромагнитных волн, поперечные колебания струны и мембраны, продольные колебания в однородном стержне, свободные электрические колебания в электрической линии без искажений и т. д. Мы также вывели в гл. 1 уравнение Гельмгольца

моделирующее гармонические волновые процессы. Однако, как будет дальше показано, свойства решений уравнения Гельмгольца близки к свойствам решений уравнения Пуассона, поскольку оба уравнения отличаются лишь младшими членами, имея одну и ту же главную часть u.

Оказывается, что именно эти три уравнения (1.5)–(1.7) определяют основные типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (см. п. 2.1.2.). Поэтому уравнения (1.5)–(1.7) часто называют

основными уравнениями математической физики. Строгое математическое изучение указанных уравнений позволит заложить, с одной стороны, основы теории уравнений с частными производными второго порядка. С другой стороны, это позволит изучить свойства широкого класса физических процессов и явлений, описываемых указанными уравнениями.

Подчеркнем, что каждое из уравнений (1.5)–(1.8) имеет бесчисленное множество решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из ее физического смысла. Как следует из гл. 1, такими дополнительными условиями чаще всего являются начальные условия, относящиеся к моменту времени, с которого начинается изучение данного физического процесса или явления, и/или граничные условия, т. е. условия, заданные на границе рассматриваемой области. Таким образом, задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным и/или граничным условиям.

Отметим, что уравнение (1.6) является частным случаем нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

моделирующего распространение вещества в среде с переменным коэффициентом диффузии , движущейся со скоростью a, c учетом эффекта поглощения вещества за счет химических реакций, описываемого слагаемым

87

u. При = 0 и div a = 0 уравнение (1.9) совпадает с точностью до обозначений с уравнением распространения тепла (4.21) гл. 1 в движущейся среде. В другом важном частном случае, когда эффектами диффузии можно пренебречь по сравнению с конвекцией, полагая = 0, уравнение (1.9) переходит в уравнение 1-го порядка

При = 0 уравнение (1.10) описывает перенос вещества либо тепла за счет конвекции и называется уравнением переноса либо уравнением адвекции.

Уравнение (1.10) играет важную роль при изучении процессов распространения вещества или тепла в средах, в которых можно пренебречь эффектами диффузии. Кроме того, необходимость в исследовании уравнения (1.10) возникает и в случае, когда для изучения общего уравнения конвекции-диффузии (1.9) применяется метод расщепления по физическим процессам (см. [44]). Ввиду важности уравнения (1.10) следующий параграф будет целиком посвящен изучению свойств его решений и изучению корректных постановок начально-краевых задач для уравнения (1.10), а также для его одномерного либо стационарного аналогов. Там же мы введем фундаментальное понятие характеристики уравнения (1.10) и покажем, что задача интегрирования уравнения (1.10) эквивалентна интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений для его характеристик.

2.1.2. Типы уравнений второго порядка. Пусть – произвольная область в Rn. Рассмотрим в уравнение второго порядка вида

Здесь коэффициенты aij – заданные функции координат x1; :::; xn точки x 2 Rn, f – заданная функция своих аргументов, причем предполагается, что aij = aji. Все функции и независимые переменные считаем вещественными.

В этом пункте мы приведем классификацию уравнений вида (1.11) в точке. Зафиксируем определенную точку x0 = (x01; :::; x0n) в области и составим квадратичную форму, действующую по формуле:

XX

Напомним, что квадратичная форма вида (1.12) называется положительно либо отрицательно определенной, если существует такая констан-

88

та c > 0, что выполняется условие

Из курса алгебры хорошо известно [17, c. 192], что существует невырожденное линейное преобразование переменных

которое приводит матрицу ((a0ij)) квадратичной формы (1.12) к каноническому (диагональному) виду, а каноническую формулу (1.12) – к виду

m

X

i=1

Существует много невырожденных вещественных преобразований, приводящих форму (1.12) к виду (1.14), но согласно закону инерции квадратичных форм число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы инвариантно относительно линейного преобразования, т. е. не зависит от выбора линейного преобразования [17, c. 198]. Известно также, что уравнение ja0ij ijj = 0, где ij – символ Кронекера, имеет лишь вещественные корни, называемые собственными значениями матрицы ((a0ij)), причем число членов в (1.14) с положительными либо отрицательными знаками равно числу положительных либо отрицательных собственных значений матрицы ((a0ij)).

Если преобразование (1.13) приводит форму (1.12) к каноническому виду (1.14), то, как легко проверить, преобразование

Здесь коэффициенты a~ij(x) таковы, что в точке x0 выполняются соотно-

89

Мы выписали только члены со старшими производными от функции u. Вид (1.16) уравнения (1.11) называется каноническим видом в точке x0.

Итак, для каждой точки x0 2 можно указать такое невырожденное преобразование (1.15) независимых переменных, которое приводит уравнение (1.11) к каноническому виду в этой точке. Именно на этом свойстве основана классификация уравнений второго порядка. Введем следующее определение.

Определение 1.1. Уравнение (1.11) называется эллиптическим в точке x0 = (x01; :::; x0n), если в уравнении (1.16) при x = x0 все коэффициенты a~ii(x0), i = 1; :::; n отличны от нуля и имеют один знак, причем m = n. Уравнение (1.11) называется гиперболическим в точке x0, если в (1.16) все коэффициенты a~ii(x0) имеют один и тот же знак, за исключением одного, который имеет противоположный знак, причем m = n. Уравнение (1.11) называется ультрагиперболическим в точке x0, если в (1.16) имеется больше одного положительного коэффициента a~ii(x0) и больше одного отрицательного, причем m = n. Уравнение (1.11) называется параболическим в широком смысле в точке x0, если среди a~ii(x0) имеются равные нулю, т. е. если m < n. Уравнение (1.11) называется параболическим в узком смысле или просто параболическим в точке x0, если только один из коэффициентов a~ii(x0), пусть это будет a~nn(x0), равен нулю, а другие имеют одинаковые знаки, причем коэффициент при @u=@ n отличен от нуля.

В основу определения 1.1 взяты свойства в точке x0 коэффициентов уравнения (1.16), полученного преобразованием исходного уравнения (1.11) с помощью линейной замены переменных. Можно дать эквивалентное определение, основываясь на свойствах квадратичной формы (1.12). Ограничившись рассмотрением лишь чисто эллиптических, гиперболических и параболических уравнений, приведем следующее определение.

Определение 1.1а. Уравнение (1.11) называется уравнением эллиптического типа в точке x0, если в этой точке квадратичная форма (1.12) положительно или отрицательно определена. Уравнение (1.11) называется уравнением гиперболического типа в точке x0, если в этой точке квадратичная форма (1.12) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент–противоположного знака. Уравнение (1.11) называется параболическим в узком смысле или просто уравнением параболического типа в точке x0, если в этой точке квадратичная форма (1.12) при приведении ее к сумме квадратов имеет лишь один коэффициент, равный нулю, а все остальные коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Определение 1.2. Уравнение (1.11) называют уравнением эллиптического (соотв. гиперболического либо параболического) типа в области, если в каждой точке x0 2 оно является уравнением эллиптического

90