emph_f

Полагая в (4.3) v = k grad T , выражение для Q1 можно переписать в виде

Z t2 Z

Формула (4.4) описывает количество тепла, поступающее в область за промежуток времени от t1 до t2, вследствие потоков тепла, вызываемых неравномерным распределением температуры в D.

Предположим далее, что в области распределены источники тепла с объемной плотностью F . Тогда количество тепла Q2, выделяемое ими в область за время t = t2 t1, будет равно

Z t2 Z

Q2 = dt F dx:

t1

Ясно, что получаемое областью тепло идет на нагрев среды, т. е. на увеличение ее температуры. Если в момент t1 температура в произвольной точке x области равна T1(x), а в момент t2 равна T2(x), то количество тепла, необходимое для указанного увеличения температуры, равно в силу законов термодинамики Q, где

Здесь параметры (плотность среды) и c (коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давлении) являются в общем случае функциями от x 2 D.

В силу фундаментального закона сохранения тепла, примененного к области , должно выполнятся соотношение: Q = Q1 + Q2, или

Оно называется уравнением баланса тепла. В словесной форме соотношение (4.6) можно выразить так: изменение количества тепла в области за время t = t2 t1 (см. левую часть в (4.6)) обусловлено притоком тепла в область через граничную поверхность за счет молекулярной диффузии и количеством тепла, выделившимся в за время t в результате действия объемных источников тепла с плотностью F .

Переписав соотношение (4.6) в виде

31

предположим, что подынтегральная функция здесь является непрерывной в области D. Поскольку в этом соотношении – произвольная область с кусочно-гладкой границей , то тем самым мы находимся в условиях леммы 1.1. Согласно этой лемме указанная подынтегральная функция равна нулю всюду в области D, т. е. выполняется соотношение

Уравнение (4.7) и является искомой математической моделью, описывающей процесс распространения тепла в области D. Как уже указывалось, коэффициенты и c в (4.7) являются в общем случае функциями от x, а коэффициент k к тому же может зависеть и от t, а также от температуры T . Поэтому (4.7) является в общем случае нелинейным уравнением.

В декартовой системе координат уравнение (4.7) имеет вид

В частном случае, когда среда однородна, так что величины ; c и k есть константы, уравнение (4.7) принимает вид

p

где a = k= c, f = F= c. Уравнение (4.9) называется неоднородным уравнением теплопроводности, а a2 называется коэффициентом температуропроводности. Если объемные источники тепла отсутствуют, так что f = 0, то уравнение (4.9) становится однородным. Указанное уравнение

является важнейшим и в то же время простейшим представителем уравнений параболического типа согласно классификации, приведенной в гл. 2.

Для выделения единственного решения уравнения (4.7) необходимо задать дополнительные условия. В случае, когда процесс распространения тепла рассматривается во всем пространстве R3, так что = R3, роль таких условий играет начальное условие

где T0(x) – заданная функция, а задача (4.7), (4.11) при = R3 называется задачей Коши в честь великого французского математика O.L. Cauchy (1789 – 1857), автора 789 опубликованных работ и ряда монографий. Если процесс распространения тепла рассматривается в некоторой области

32

пространства R3 с границей = @ , то на границе следует задавать краевые условия, имеющие в общем случае вид (сравните с (3.23)):

Здесь ; и g – заданные на функции. Задача (4.7), (4.11), (4.12) называется начально-краевой задачей для уравнения (4.7): первой краевой задачей, или задачей Дирихле при = 0, = 1, второй краевой задачей, или задачей Неймана при = kj , = 0 и третьей краевой задачей при

= kj , 6= 0.

Вфизическом плане условие Дирихле ( = 1, = 0) в (4.12) отвечает

заданию температуры на границе , условие Неймана ( = 0, = kj ) в (4.12) отвечает заданию теплового потока на , наконец, условие 3-го рода означает, что на границе происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Подробнее о физическом смысле различных граничных условий для температуры T можно прочитать в [21, с. 27–28], [22, с. 15–16], [49, c. 28], [56, с. 196–202].

Вчастном случае, когда температура T зависит лишь от координат x; y

ивремени t, что имеет место, например при изучении распространения тепла в тонкой однородной пластине или мембране, (4.9) принимает вид двумерного уравнения теплопроводности

Наконец, для одномерного однородного тела, например для однородного стержня, когда T зависит только от x и t, (4.9) переходит в одномерное уравнение теплопроводности

Следует, однако, отметить, что уравнения (4.13) и (4.14) не учитывают теплообмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающей средой (точнее, мы пренебрегаем им при выводе этих уравнений).

В ряде случаев зависимостью температуры T от времени t можно пренебречь. В этих случаях (4.7) либо (4.8) переходит в стационарное уравнение

33

где f = F=k. В обоих случаях начальное условие (4.11), естественно, снимается, так что изучение процесса переноса тепла сводится к решению краевой задачи для уравнения с переменными коэффициентами (4.15) либо уравнения Пуассона (4.16). В простейшем случае, отвечающем распределению температуры в одномерном стержне длины l, уравнение (4.16) вместе с однородным граничным условием 1-го рода в (4.12) принимает вид краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Граничные условия в (4.17) означают, что температура T на концах стержня, в котором изучается тепловой процесс, поддерживается равной нулю.

Введенные выше модели переноса тепла отвечают средам, в которых основным мехинизмом переноса тепла является диффузия. Для жидких и газообразных сред, наряду с диффузией, важную роль играет механизм переноса тепла движущимися частицами жидкости и газа. В физике указанный механизм называется (тепловой) конвекцией. Для вывода модели переноса тепла с учетом молекулярной диффузии и конвекции нужно дополнительно определить количество тепла, вносимое в область со стороны оставшейся части e = Dn движущимися частицами. Обозначив через u = u(x; t) скорость жидкости в точке x в момент t, заметим что в соответствии с физическим смыслом поток тепла, переносимого движущимися частицами через элемент dS границы области в единицу времени, равен T u ndS. В таком случае количество тепла Q3, поступающее за времяt = t2 t1 в область за счет конвекции, определяется формулой

Уравнение (4.19) является усложненной математической моделью, описывающей процесс распространения тепла в движущейся жидкости, занимающей область , за счет молекулярной диффузии, конвекции и действия

34

объемных источников тепла. В частном случае, когда жидкость несжимаема, так что скорость u удовлетворяет условию несжимаемости divu = 0, имеем в силу известной формулы (см. прил. 2), что

Если же рассматриваемый процесс является стационарным, так что @T=@t = 0, то (4.19) принимает вид

div (kgrad T ) div (T u) = F:

1.4.2. Модели конвекции-диффузии вещества. Выведем здесь математическую модель, описывающую процесс переноса в жидкости какоголибо вещества, например, загрязняющей примеси. Наличие этого вещества в жидкости описывается его концентрацией C, имеющей размерность [C] = кг=м3 в системе СИ. Как и для модели переноса тепла в жидкости, будем рассматривать следующие механизмы переноса вещества: диффузию, конвекцию и внутренние источники.

Обозначим через J вектор потока вещества за счет диффузии. Известно, что он связан с концентрацией законом Фика, названного так в честь немецкого физика A. Fick (1829–1901), открывшего его в 1855 г. Указанный закон имеет вид J = grad C. Здесь параметр , имеющий смысл коэффициента диффузии, зависит в общем случае как от точек x 2 D и времени t, так и от концентрации C. Рассуждая, как в п. 1.4.1, можно показать, что количество R1 вещества, поступающего за промежуток (t1; t2) в произвольную область с границей со стороны оставшейся подобластиe области D за счет диффузии, определяется формулой

Z t2 Z Z t2 Z Z t2 Z

R1 = dt J ndS = dt divJdx = dt div( gradC)dx:

t1 t1 t1

Если внутри имеются источники вещества с объемной плотностью FC, вырабатывающие это вещество, то полное количество вещества R2, вносимое ими в за промежуток времени (t1; t2) , а также количество вещества R3, переносимое в за счет конвекции, определяются формулами

Z t2 Z Z t2 Z Z t2 Z

R2 = FCdxdt; R3 = dt Cu ndS = dt div(Cu)dx:

t1 t1 t1

В результате поступления вещества в концентрация его меняется, а изменение количества вещества в за интервал (t1; t2) выражается формулой

35

В силу закона сохранения массы должно выполняться уравнение баланса вещества: R = R1 + R2 + R3. В подробной записи оно имеет вид

Оно называется нестационарным уравнением конвекции-диффузии вещества. В частном случае, когда = const, а вектор u удовлетворяет условию divu = 0, уравнение (4.24) можно переписать в виде

Если же рассматриваемый процесс переноса (конвекции-диффузии) вещества является стационарным, так что @C=@t = 0, то (4.25) принимает вид

Распространение вещества в некоторых средах сопровождается химической реакцией взаимодействия диффундирующего вещества с веществом основной среды. Это приводит к поглощению вещества, причем скорость поглощения в каждой точке x 2 можно считать пропорциональной концентрации C(x; t) с некоторым коэффициентом = (x). Вследствие явления поглощения, количество диффундирующего вещества в рассматриваемой области уменьшается за промежуток (t1; t2) на величину

Чтобы учесть явление поглощения вещества, достаточно при выводе уравнения баланса вещества выражение (4.27) вычесть из правой части (4.24). С учетом этого основные модели переноса вещества принимают вид

36

На каждое из уравнений (4.28)–(4.30) часто ссылаются как на уравнение

конвекции-диффузии-реакции.

В еще одном частном случае, когда = 0, (4.30) принимает вид

Уравнение (4.31), называемое уравнением конвекции–реакции, описывает перенос вещества за счет конвекции и его поглощение (или распад) за счет химической реакции взаимодействия с веществом основной среды. При = 0 на уравнение (4.31) ссылаются как на уравнение конвекции или адвекции.

Для выделения единственного решения уравнения (4.24), рассматриваемого в некоторой области , задаются начальное и граничное условия. Начальное условие имеет стандартный вид

где C0(x) – заданная в функция. Чтобы задать граничные условия, границу разбивают в общем случае на две части: D и N . На D задается условие Дирихле, тогда как на N задают диффузионный поток J n = @C=@n вещества:

Здесь g1 и g2 – заданные функции соответственно на участках D и N . Начальное условие (4.32), описывающее распределение концентрации вещества в в момент t = 0, моделирует, например, мгновенный выброс загрязняющего вещества, что часто происходит при взрывах или авариях. Граничные условия (4.33) моделируют поведение вещества на разных участках границы рассматриваемой области. В случае, когда участок N является непроницаемым для вещества, в (4.33) следует положить g2 = 0.

Что касается уравнения первого порядка (4.31), то соответствующие постановки начально-краевых задач для (4.31) либо краевых задач для его стационарного аналога будут сформулированы и исследованы в § 2.2.

Для удобства читателей ниже приводится таблица размерностей введенных в этом параграфе физических величин и параметров в системе СИ.

Таблица 4.1

Здесь используются обычные сокращения. В частности, с обозначает секунду, м – метр, Q – джоуль, K – Кельвин (единица температуры).

37

§ 1.5. Математические модели движения жидкости и газов

1.5.1.Феноменологический подход к построению математических моделей движения жидкости. Как известно, жидкость или газ представляют собой совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотическом движении. Поэтому для того чтобы полностью охарактеризовать состояние жидкости в данный момент времени, необходимо задать положение и скорость каждой частицы жидкости. Из-за огромного количества частиц это практически невозможно осуществить. С учетом этого для описания движения жидкости применяют специальные приближенные методы. Из них наиболее распространены два: феноменологический и молекулярно-кинетический. Согласно первому подходу, который обычно используется в теоретической гидродинамике – науке о движении жидкостей и газов, считается, что частицы, составляющие жидкость, непрерывным образом заполняют ее объем. Это означает, что жидкость моделируется сплошной средой, при этом

ееосновными характеристиками в произвольной точке x в момент t яв-

ляются скорость u = u(x; t), плотность = (x; t) и давление p = p(x; t), имеющие в системе СИ соответственно размерности: м/с, кг/м3 и Н/м2, где Н=кг м/с2 – сокращенное обозначение ньютона как единицы силы. Кроме указанных основных величин используются некоторые дополнительные характеристики: температура T , энтропия s, соленость S, концентрация C загрязняющего вещества в жидкости и т. д. Размерности этих величин в системе СИ можно найти в приведенной ниже таблице 5.1.

В результате задача построения той или иной математической гидродинамической модели сводится к выводу соответствующей системы дифференциальных уравнений относительно искомых функций u; p; ; : : : ; основываясь на тех фундаментальных законах, которые описывают процесс движения рассматриваемой жидкости. В качестве указанных законов используются законы сохранения массы, импульса, энергии и т. д. В соответствии с вышесказанным мы начнем изложение с вывода общего гидродинамического закона сохранения. Он имеет две формы: интегральную, относящуюся к произвольному объему, занимаемому жидкостью, и дифференциальную, относящуюся к произвольной точке x рассматриваемой области и имеющую вид соответствующего дифференциального уравнения в частных производных относительно искомых функций.

1.5.2.Общий закон сохранения. Предположим, что жидкость занимает некоторую область D R3. Обозначим через произвольную ее подобласть с кусочно-гладкой границей , неизменной во времени. Обычным образом, как это принято в механике сплошных сред [40], определяются бесконечно малые элементы объема и поверхности, а также понятие движу-

щейся частицы. Пусть – произвольная скалярная гидродинамическая ве-

38

R

личина, отнесенная к единице объема. Тогда интеграл (t) = (x; t)dx будет иметь смысл количества величины в области . В свою очередь, на (x; t) можно смотреть как на объемную плотность интегральной величины (t) в точке x в момент времени t. Обозначим через q плотность объемных источников величины . В силу общего закона сохранения приращение величины в области за время от t до t + t происходит за счет действия объемных источников, изменяющих на величину

Z t+t Z

dt qdx;

иза счет потока величины через поверхность со стороны оставшейся части жидкости. Обозначим через n единичный вектор внешней нормали к поверхности . По определению поток величины через элемент поверх-

ности dS в единицу времени в направлении нормали n равен u ndS, где u – скорость жидкости. Следовательно, поток величины в область со стороны оставшейся части жидкости через за время от t до t + t равен

Z t+t Z Z t+t Z

dt u ndS = dt div( u)dx:

t t

Здесь при переходе от двойного к тройному интегралу мы воспользовались формулой (4.3), а знак “ ” выбран с учетом ориентации нормали n.

Согласно общему закону сохранения приращение величины за времяt определяется соотношением (уравнением баланса величины в ):

Z t+t Z Z t+t Z

(t + t) (t) = dt qdx dt div( u)dS: (5.1)

t t

Разделив обе части на t и переходя к пределу при t ! 0, получаем уравнение

Считая подынтегральную функцию в (5.3) непрерывной и применяя лемму 1.1, приходим к дифференциальному уравнению

39

Уравнение (5.4) называется дифференциальным законом сохранения величины , тогда как уравнение (5.1) имеет смысл интегрального закона сохранения величины . Применяя (5.4) к конкретным гидродинамическим величинам, теперь нетрудно вывести законы сохранения массы, импульса и т. д., на основе которых выводятся искомые математические модели движения жидкости.

1.5.3. Модели движения идеальной жидкости. Начнем с вывода закона сохранения массы. С этой целью положим в (5.4) = ; q = 0 (последнее объясняется отсутствием внешних источников массы). В результате получим уравнение

Оно называется дифференциальным законом сохранения массы, или просто уравнением неразрывности. В силу закона сохранения массы движение жидкости происходит так, что ее скорость u и плотность в каждой точке x 2 D в любой момент t удовлетворяет уравнению (5.5). Важно отметить, что (5.5) имеет инвариантный характер (в том смысле, что в его записи не участвует конкретная система координат). Однако для упрощения дальнейших выкладок нам будет удобно считать, что в области D, где рассматривается движение жидкости, введена декартова система координат x1 = x; x2 = y; x3 = z с правым базисом i; j; k, причем ось z будем считать направленной вверх. Обозначив декартовы компоненты вектора u через u1 = u; u2 = v; u3 = w и учитывая формулу (3.16) для дивергенции в декартовой системе координат, уравнение (5.5) можно переписать в виде

Прежде чем приступить к выводу уравнения сохранения импульса, рас-

смотрим силы, действующие на жидкость. В общем случае эти силы подразделяются на внешние и внутренние. Внешние силы, как правило, являются массовыми (либо объемными) и описываются массовой (либо объемной) плотностью. Таким образом, если f – массовая плотность внешней силы (т. е. сила, действующая на единицу массы и имеющая размерность ускорения м/сек2), то f представляет собой ее объемную плотность (т. е.

силу, действующую на единицу объема), fdx – силу, действующую на эле-

R

ментарный объем dx и, наконец, fdx – силу, действующую на область. Важным примером внешних сил является сила тяжести, массовая плотность которой определяется в выбранном декартовом базисе формулой

Здесь g – ускорение свободного падения. Ясно, что сила тяжести, действующая на элементарный объем dx, равна gdx. Другим примером внешней

40