emph_f

фронт представляет собой окружность радиуса R+at, носитель волны имеет вид соответствующего круга радиуса R+at, а задний фронт отсутствует. Геометрия носителя D(t) такой волны u в моменты t = 0 и t1 = R=a аналогична геометрии носителя трехмерной волны на рис. 3.4,а, а при t2 = 2R=a в отличие от трехмерного случая, носитель D(t2) имеет вид круга радиуса 3R, указанного в виде затемненной области на рис. 3.4,б.

Замечание 3.2. Аналогичные рассуждения можно провести и для формулы Даламбера (3.26) в предположении, что начальные функции '0 и '1 отличны от нуля на конечном интервале (x1,x2) (см. также § 3.1). Нетрудно убедиться, что для слагаемого

(1=2)['0(x at) + '0(x + at)]

формулы (3.26) имеет место принцип Гюйгенса, а второе слагаемое

1 Z x+at

2a x at

'1( )d

ведет себя аналогично формуле (3.25), с той лишь разницей, что оно не стремится к нулю при t ! 1.

§ 3.4. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения

3.4.1. Задача Коши в R3. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения в R3, заключающуюся в нахождении функции u 2 C2(R4+) \ C1(R4+) (классического решения) из условий

Для нахождения решения задачи (4.1), (4.2) достаточно найти решение уравнения (4.1) при нулевых начальных условиях

@u

ujt=0 = 0; = 0 в R3; (4.3)

@t t=0

так как, добавляя к этому решению решение задачи (3.1), (3.2) для однородного волнового уравнения, определяемое формулой Кирхгофа (3.19), мы получим с учетом линейности уравнения (4.1) искомое решение задачи (4.1), (4.2).

Как и в одномерном случае (см. § 3.1), будем отыскивать решение задачи Коши (4.1), (4.3) через решение аналогичной задачи для соответствующего

201

однородного волнового уравнения. С этой целью рассмотрим функцию v переменных x; t и параметра , удовлетворяющую однородному уравнению

Вводя вместо t новую переменную t1 = t , замечаем, что функция w(x; t1; ) v(x; t1 + ; ) удовлетворяет однородному волновому уравнению

@w

В таком случае функция w может быть представлена с помощью формулы Кирхгофа (3.19), принимающей в данном случае вид

Для справедливости этой формулы достаточно предположить в силу теоре-

мы 3.1, что функция f непрерывна в замкнутой области R4+ = R3 [0; 1) вместе со всеми первыми и вторыми производными по x1 = x; x2 = y и x3 = z. Указанный факт кратко запишем в виде

Возвращаясь к переменным t и v и вводя сферические координаты переменной точки y 2 Sat1 (x) в (4.8) с помощью формул (см. §3.3)

202

Покажем теперь, что функция u : R4+ ! R, определяемая формулой

Z t

u(x; t) v(x; t; )d ; (4.12)

0

является искомым решением задачи (4.1), (4.3). В самом деле, дифференцируя (4.12) по x; y; z и t, имеем:

(Внеинтегральный член в (4.14) равен нулю в силу первого условия в (4.5)). Дифференцируя (4.14) по t, получим с учетом (4.5), что

Поскольку v удовлетворяет однородному волновому уравнению (4.4), то из (4.13), (4.15) следует, что u является решением неоднородного уравнения (4.1), а из (4.12), (4.14) следует, что u удовлетворяет однородным начальным условиям (4.3). Тем самым доказано, что функция (4.12) является искомым решением задачи Коши (4.1), (4.3).

Подставляя в (4.12) вместо функции v ее выражение (4.11), получим

Введем в (4.16) вместо переменной интегрирования новую переменную

Учитывая, что t = r=a, = t (r=a), d = (dr=a), и что r меняется от at до 0 при изменении от 0 до t, (4.16) можно переписать в виде

Из (4.10) и (4.17) следует, что величина r имеет смысл расстояния между фиксированной точкой x 2 R3 и переменной точкой y пространства R3, так

203

p

что r = jx yj = (x )2 + (y )2 + (z )2. При этом при изменении r от 0 до at, а пары ( ; ) по единичной сфере S1 точка y пробегает шар Bat(x) радиуса at с центром в x. С учетом этого формулу (4.18) можно

Интеграл в правой части формулы (4.19), описывающей потенциал волнового поля, являющегося решением задачи Коши (4.1), (4.3), называется запаздывающим потенциалом. Такое название связано с тем, что значение потенциала u в фиксированной точке x 2 R3 в фиксированный момент времени t > 0 определяется значениями правой части f уравнения (4.1), описывающей плотность объемных источников, в точках y 2 Bat(x), взятыми в предыдущие моменты времени = t jx yj=a. Другими словами, для нахождения потенциала u в точке (x; t) мы интегрируем плотность f источников поля по шару Bat(x), причем значения функции f в произвольной точке y 2 Bat(x) берутся не в рассматриваемый момент времени t, а в момент t r=a, предшествующий моменту t. При этом величина запаздывания r=a = jx yj=a, зависящая как от x, так и y, в точности равна времени, необходимому для прихода возмущения из точки y в точку x (со скоростью a). Указанный факт, очевидно, объясняется конечностью скорости распространения возмущений, которая для уравнения (4.1) равна a.

Отметим также, что при выполнении условий (4.9) все вторые производные от функции u в (4.19), входящие в уравнение (4.1), существуют и

непрерывны в замкнутом полупространстве R4+. Это означает, что формула (4.19) описывает регулярное решение задачи (4.1), (4.3). Сформулируем полученный результат.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (4.9). Тогда функция

u : R4+ ! R, определяемая запаздывающим потенциалом (4.19), является регулярным решением задачи Коши (4.1), (4.3).

3.4.2. Задача Коши в R2 и R. Аналогичным образом можно найти

204

где – расстояние между фиксированной точкой (x; y) и переменной точкой ( ; ) плоскости R2: 2 = (x )2 + (y )2:

Наконец, решение одномерной задачи Коши

имеет вид (см. §3.1 и [11, с.214]):

3.4.3. Качественный анализ решений неоднородного волнового уравнения в R3, R2 и R. Займемся качественным анализом приведенных выше формул для решения неоднородного волнового уравнения в R3, R2 и R. Предварительно напомним (см. гл.2), что поверхность (x0; t0)

ческой поверхностью (или более кратко характеристическим конусом) для волнового уравнения (4.1) с вершиной в точке (x0; t0). Указанная поверхность (x0; t0) является границей конусов

K+(x0; t0) = f(x; t) : a(t t0) > jx x0jg ;

K (x0; t0) = f(x; t) : a(t0 t) > jx x0jg ;

называемых соответственно конусами будущего и прошлого с вершиной в

(x0; t0).

Важную роль с точки зрения анализа поведения решения u задачи Коши играет кусок Kn (x0; t0) конуса прошлого, отсекаемый плоскостью t = 0, т.е. пересечение конуса K (x0; t0) с полупространством Rn++1 = Rnx Rt;+. В частных случаях, когда n = 1 или n = 2, соответствующие куски

K1 (x0; t0) = f(x; t) 2 K (x0; t0) : t > 0; a(t0 t) > jx x0jg;

K2 (x0; y0; t0) = f(x; y; t) 2 K (x0; y0; t0) :

p

t > 0; a(t0 t) > (x x0)2 + (y y0)2g

изображены на рис.4.1,а и рис.4.1,б. Для краткости на кусок Kn (x0; t0) будем также ссылаться как на конечный конус (или треугольник при n = 1) прошлого, а на его боковую границу n (x0; t0) – как на конечный характеристический конус (характеристический треугольник при n = 1) прошлого.

205

Используя введенные конечные конусы, перейдем теперь к анализу формул (4.19), (4.22), (4.25). Начнем исследование с самой наглядной формулы (4.25). Простой анализ показывает, что интегрирование в формуле (4.25) производится в точности по треугольнику K1 (x; t). Точнее говоря, правая часть в (4.25) представляет собой повторный интеграл, к которому сводится двойной (по переменным x; t) интеграл в формуле

Z

u(x; t) = 1 f( ; )d d : (4.26)

2a K1 (x;t)

Аналогичный факт справедлив и для формулы (4.22), решающей двумерную задачу Коши (4.20), (4.21). Эту формулу можно переписать в виде

интеграл, к которому сводится тройной по переменным x; y и t интеграл по конечному конусу K2 (x; y; t) в правой части (4.27).

Что касается формулы (4.19), решающей трехмерную задачу Коши (4.1), (4.3), то простой анализ показывает, что она может быть переписана в виде

Подчеркнем, что в отличие от формул (4.26) и (4.27), интегрирование в формуле (4.28) производится по конечному характеристическому конусу3 (x; t), т. е. по боковой границе конечного конуса K3 (x; t).

Формула (4.26) (либо (4.27)) означает, что значение решения одномерной задачи Коши (4.23), (4.24) в точке (x; t) (либо двумерной задачи Коши (4.20), (4.21) в точке (x; y; t)) зависит от значений правой части (объемной плотности) f уравнения (4.23) (либо (4.20)) в точках, расположенных внутри характеристического треугольника K1 (x; t) (либо конуса K2 (x; y; t)). В противоположность этому значение u(x; t) решения u трехмерной задачи Коши (4.1), (4.3) в точке (x; t) 2 R4+ зависит лишь от значений f(y; t) плотности f в (четырехмерных) точках (y; t), расположенных на боковой поверхности 3 (x; t) конечного конуса K3 (x; t). Таким образом, как и в §3.3, мы опять наблюдаем качественное отличие решений одномерной и двумерной задач Коши (4.23), (4.24) и (4.20), (4.21) соответственно от решения трехмерной задачи Коши (4.1), (4.3) для неоднородного волнового уравнения. Указанное отличие имеет ту же самую природу, что и для однородного волнового уравнения (см. §3.3), т.е. оно связано с нарушением принципа Гюйгенса в R; R2, а также в пространстве R2n четного числа измерений. Более детально этот вопрос освещается в [11, §14] и [35, гл.24].

206

§ 3.5. Некоторые общие вопросы теории распространения волн в пространстве Rn

В этом параграфе мы докажем единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве Rn любого числа измерений. Основываясь на этой теореме и результатах предыдущих параграфов, мы введем далее ряд важных в математическом и физическом планах понятий, связанных с общими уравнениями гиперболического типа. К указанным понятиям относятся область зависимости для волнового уравнения, область влияния и область определения для волнового процесса.

3.5.1. Теорема единственности решения задачи Коши для волнового уравнения. Теоремы единственности решений задач математической физики доказываются, как правило, независимо от метода их решения. Ниже мы приведем такое доказательство для двумерной (для определенности) задачи Коши:

меняя t на t=a. Докажем, что задача Коши (5.1), (5.2) имеет единственное

регулярное решение из класса C2(R3+).

Предположим противное, что существуют два регулярных решения u1 и u2 задачи (5.1), (5.2). Тогда их разность u = u1 u2, очевидно, является регулярным решением однородной задачи Коши:

точку (x0; t0) = (x0; y0; t0), t0 > 0 и из нее, как из вершины, проведем конус прошлого

до пересечения с плоскостью t = 0. Обозначим через K K2 (x0; t0) область (конечный конус), ограниченную частью боковой поверхности конуса K (x0; t0) и частью = (x0; t0) плоскости t = 0, отсекаемой конусом

207

Проинтегрируем (5.6) по области K. Поскольку функция u является решением задачи (5.3), (5.4), так что левая часть (5.6) равна нулю, то получим

Используя формулу Гаусса–Остроградского, преобразуем объемный интеграл в (5.7) в поверхностный интеграл по границе [ области K. Так как в силу (5.4) @u=@x = @u=@y = @u=@t = 0 на , то интеграл в (5.7) преобразуется лишь в один поверхностный интеграл по :

Здесь n = (cos(n; x); cos(n; y); cos(n; t)) – единичный вектор внешней нормали к поверхности .

Легко видеть, что в каждой точке (x; t) = (x; y; t) боковой поверхностивыполняются условия cos2(n; t) = cos2(n; x) + cos2(n; y) = 1=2. С учетом этого равенство (5.8) можно переписать в виде

208

Равенства (5.11) означают, что в каждой точке (x; t) 2 вектор ru и вектор нормали n параллельны, так что с некоторым коэффициентом пропорциональности = (x; t) справедливо равенство

Обозначим через l = l(x; t) единичный вектор образующей конуса в произвольной точке (x; t) 2 . Учитывая (5.12), имеем

Последнее равенство в (5.13) вытекает из условия ортогональности векторов n(x; t) и l(x; t). Из (5.13) следует, что на каждой образующей конуса u = const. Но во всех точках конуса, где образующие пересекают плоскость t = 0, согласно (5.4) имеем, что u = 0. Отсюда следует, что u = 0 вдоль каждой образующей конуса, а следовательно, u = 0 и в точке (x0; t0) .

Фактически мы доказали, что решение u 2 C2(R3+) задачи Коши (5.1), (5.2) равно нулю в произвольной точке (x0; t0) 2 R3+, если правая часть f уравнения (5.1) равна нулю в конусе K(x0; t0), а функции '0 и '1 равны

от нуля) принимает правая часть f вне замкнутого конуса K, а начальные функции '0 и '1 – вне замкнутого круга . Другими словами, значения

правой части f вне K и начальных функций '0 и '1 вне не влияют на значения решения u в точке (x; t). Обобщая указанный результат на случай n измерений, приходим к теореме:

Теорема 5.1. Рассмотрим две задачи Коши:

Пусть выполняются условия:

(i) f = g в конусе Kn (x0; t0) = f(x; t) : t > 0; a(t0 t) > jx x0jg; (ii) '0 = 0; '1 = 1 в шаре at(x0) = fx 2 Rn : jx x0j < at0g.

Если каждая из задач (5.14), (5.15) имеет регулярное решение, то эти решения тождественно совпадают в Kn (x0; t0).

3.5.2. Область зависимости, область влияния и область определения для волнового уравнения. Основываясь на установленных выше

209

фактах, введем в рассмотрение еще ряд важных понятий, используемых в теории уравнений в частных производных гиперболического типа, и в частности в теории волновых уравнений.

Пусть (x; t) 2 Rn++1 Rn (0; 1) – произвольная точка. Областью зависимости для точки (x; t) называется то множество точек плоскости t = 0, данные Коши на котором однозначно определяют значение u(x; t) решения волнового уравнения в (5.14) при f = 0. Из предыдущих результатов вытекает, что в частных случаях n = 1; 2; 3 областью зависимости для точки (x; t) является соответственно замкнутый интервал Iat(x), замкнутый кругat(x) и замкнутый шар Bat(x), где

Iat(x) = fy 2 R : jy xj atg; at(x) = fy 2 R2 : jy xj atg;

Более того, из формулы Кирхгофа (3.19) следует, что при n = 3 областью зависимости для точки (x; t) является на самом деле сфера

Если, далее, носителем данных Коши является некоторая область плоскости t = 0, то данные Коши в области влияют на решение во всех точках (y; t), такого множества K Rn++1, для которого пересечение\ fy 2 K : jy xj atg, x 2 не пусто. Указанное множество K называется множеством влияния области . Оно изображено на рис. 5.1

Если представляет собой одну точку, т.е. = fxg, то множеством влияния K точки x является треугольник будущего

K1+(x; 0) = f(y; t) 2 R (0; 1) : at > jy xjg

при n = 1, трехмерный (пространственно-временной) конус будущего

K2+(x; 0) = f(y; t) 2 R2 (0; 1) : at > jy xjg

при n = 2 и граница конуса будущего, т.е. характеристический конус будущего:

+3 (x; 0) = @K3+(x; 0) = f(y; t) 2 R3 (0; 1) : at = jy xjg

при n = 3.

Множество точек (x; t) 2 Rn++1, на котором решение u однозначно определяется по данным Коши в области , называется областью определения u(x; t) с начальными данными в . В случае n = 1 (либо n = 2) область определения состоит из всех точек (x; t), для которых отрезок Iat(x) (либо круг at(x)) в (5.16) расположены в . При n = 3 область определения

210