emph_f

Прежде всего введем сферические координаты r; ; ', с использованием которых запишем уравнение (4.1) в виде

Следуя схеме метода Фурье, будем искать частные решения уравнения (4.4) в виде произведения

Подставляя (4.6) в (4.4) и разделяя переменные, получаем

(r2R0)0 + k2r2R = ;'v = ; R v

где – константа разделения. Отсюда приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

для функции R и уравнению в частных производных

для функции v.

Определение 4.1. Гладкие (класса C1(S1)) на единичной сфере

S1 = f(r; ; '); r = 1; 0 ; 0 ' < 2 g

решения уравнения (4.8), удовлетворяющие условию периодичности

называются сферическими функциями.

4.4.2. Простейшие сферические функции. Полиномы Лежандра. Будем отыскивать сначала такие сферические функции (т. е. гладкие решения уравнения (4.8)), которые не зависят от угла '. С этой целью рассмотрим вместо уравнения (4.8) уравнение

251

Делая в нем замену

с учетом которой имеем

dd = dxd dxd = sin dxd ;

перепишем (4.10) в виде

Это – уравнение Лежандра [11, с. 377]. Хорошо известно, что его гладкие на [-1,1] решения (класса C1[ 1; 1]) существуют только при значениях

Соответствующее уравнение

имеет единственное (линейно независимое) ограниченное на [-1,1] решение Pn(x), называемое полиномом Лежандра. Детальное описание свойств полиномов Лежандра можно найти, например, в [6, c. 335-344], [7, с. 75-81], [11, § 25]. Приведем здесь те из них, которые ниже будут использоваться при построении сферических функций.

1. Полином Лежандра Pn(x) определяется по формуле Родрига:

2. Pn( x) = ( 1)nPn(x).

3. Полиномы Лежандра fPn(x)g1n=0 и только они представляют собой ортогональную в пространстве L2( 1; 1) систему (алгебраических) полиномов. Более того, справедлива формула

Первые шесть полиномов Лежандра имеют вид (см. рис. 4.1,а)

P0(x) = 1; P1(x) = x; P2(x) = 12(3x2 1); P3(x) = 12(5x3 3x);

252

P4(x) = 18(35x4 30x2 + 3); P5(x) = 18(63x5 70x3 + 15x):

4.Полином Лежандра Pn имеет ровно n нулей внутри интервала ( 1; 1),

аего производная k-го порядка (k n) имеет n k нулей внутри интервала ( 1; 1) и не обращается в нуль на его концах.

5.Полиномы Лежандра fPn(x)g1n=0 и только они образуют совокупность всех собственных функций спектральной задачи

отвечающих (простым) собственным значениям n = n(n + 1); n = 0; 1; :::. 6. Система полиномов Лежандра fPn(x)g1n=0 является полной в пространстве C[ 1; 1] непрерывных функций на интервале [ 1; 1] и, более того, она полна в пространстве L2( 1; 1) интегрируемых с квадратом функ-

ций на интервале ( 1; 1).

Таким образом, любую функцию f 2 L2( 1; 1) можно разложить в ряд Фурье:

n=0

Важно отметить, что с ростом гладкости функции f растет и порядок скорости сходимости ее ряда Фурье (4.17) к f (см. [6,7,11]).

4.4.3. Присоединенные функции Лежандра. Вернемся к общему уравнению (4.8) и будем искать его частные решения в виде

Подставляя (4.18) в (4.8) и разделяя переменные, будем иметь

где – константа разделения. Отсюда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям: уравнению

253

для Q и уравнению

для . Из (4.9) следует, что функция должна быть 2 –периодической, т.е. должна удовлетворять условию ('+2 ) = ('). Это возможно тогда и только тогда, когда

где a и b – произвольные постоянные.

Подставим (4.21) в (4.19) и сделаем в нем замену (4.11). Полагая

В результате задача нахождения сферических функций свелась к нахождению гладких на [ 1; 1] решений уравнения (4.23), которое в частном случае m = 0 переходит в уравнение Лежандра (4.12).

Определение 4.2. Гладкие на [ 1; 1] решения уравнения (4.23) называются присоединенными функциями Лежандра.

Если P m – произвольная присоединенная функция Лежандра, то функция

является искомой сферической функцией. Поэтому для построения всех сферических функций нужно найти все присоединенные функции Лежандра. Чтобы найти указанные функции, введем вместо функции P новую неизвестную функцию Z по формуле

254

которому, как легко проверить путем m–кратного дифференцирования уравнения Лежандра (4.12), удовлетворяет производная dmPn=dxm полинома Лежандра Pn. Поскольку уравнение Лежандра имеет нетривиальные гладкие на [ 1; 1] решения только при значениях = n n(n + 1), n = 0; 1; 2; :::, то отсюда следует, что уравнение (4.30), а следовательно, и (4.29), имеют нетривиальные гладкие на [ 1; 1] решения только при = n, причем этими решениями являются производные dmPn=dxm от полиномов Лежандра Pn. Вернувшись к исходному уравнению (4.23), приходим к выводу о том, что присоединенные функции Лежандра P (x) Pnm(x) существуют только при = n = n(n + 1) и определяются формулами

Вычислим нормы в L2( 1; 1) присоединенных функций Лежандра и одновременно докажем их ортогональность. С этой целью заменим в уравне-

255

Последовательно применяя последнюю рекуррентную формулу, имеем

Lmn;k = (n + m)(n m + 1)(n + m 1)(n m + 2)Lmn;k 2 = ::: =

Графики нормированных присоединенных функций Лежандра P mn с нормой kP mn k = 1 приведены для некоторых конкретных значений m и n на рис.4.1,б. Можно также показать (см., например, [11, c. 383], [56, c. 719]), что при каждом целом m 0 система присоединенных функций Лежандра

является полной в пространстве L2( 1; 1).

4.4.4. Фундаментальные сферические функции. Вернувшись к исходному уравнению (4.8) относительно сферических функций,

256

Функции Ynm при каждом фиксированном n называются фундаментальными сферическими функциями порядка n. Число их равно 2n + 1, т. е. кратности собственного значения n. Они, очевидно, линейно независимы, хотя бы потому, что линейно независимы функции cosm' и sinm'. При этом функции Yn0 Pn(cos ), не зависящие от угла ', называются зональными сферическими функциями.

Такое название обусловлено тем, что в силу свойства полинома Лежандра Pn иметь ровно n нулей внутри интервала ( 1; 1) сферу S1 можно разбить на n+1 широтных зон, внутри которых зональная функция Yn0 сохраняет знак. Остальные сферические функции носят название тессерельных. Последнее название объясняется тем, что сферу S1 можно разбить на клетки (tessera) (см. рис. 4.2) с помощью n–m параллелей и m равноотстоящих меридианов таким образом, что функция Ynm сохраняет знак в каждой из них и меняет его при пересечении границы клетки (имеющей, таким образом, смысл узловой линии). Наконец, заметим, что в силу линейности и однородности уравнения (4.8) любая линейная комбинация фундаментальных сферических функций порядка n

m=0

257

где amn и bmn – произвольные постоянные, или, что то же, функция

также является решением уравнения (4.8) при = n и, следовательно, является сферической функцией. Указанную функцию (4.37) также называют сферической функцией или (по историческим причинам) сферической гармоникой порядка n.

R

Подсчитаем L2(S1) – норму kYnmk ( S1 [Ynm]2d )1=2 сферической функции Ynm. Воспользуемся для этого очевидным равенством

Из ортогональности и полноты тригонометрической системы

f1; cos '; sin '; :::; cos m'; sin m'; :::g

в пространстве L2(0; 2 ) и ортогональности и полноты в пространстве L2( 1; 1) системы присоединенных функций Лежандра fPnm(x)g1n=m при каждом фиксированном m 0 (см. выше) следует ортогональность и полнота в L2(S1) системы сферических функций

(Ортогональность системы (4.38) в L2(S1) проверяется непосредственно, а строгое доказательство полноты можно найти в [11, с. 384] и [56, с. 727]). С учетом указанных свойств системы (4.38) любую функцию g 2 L2(S1) можно разложить в ряд Фурье по функциям Ynm

258

сходящийся к g в L2(S1). Чтобы определить коэффициенты cmn этого разложения, достаточно умножить ряд (4.39) на функцию Ykl ( ; '), проинтегрировать по S1 и воспользоваться ортогональностью системы fYkl g и формулой (4.37). В результате получим

Замечание 4.1. В некоторых учебниках по математической физике, как, например в [11, с. 387], под сферической функцией понимается сужение шаровой функции un порядка n на сферу S1 R3. При этом под шаровой функцией порядка n понимают однородный гармонический полином степени n, т. е. однородный полином un степени n, удовлетворяющий

уравнению Лапласа

un = 0 в R3:

Можно показать (см., например, [11]), что такое определение сферической функции эквивалентно введенному выше и что существует ровно 2n+1 линейно независимых шаровых функций umn порядка n, где m = 0; 1; ::: ; n. При этом справедлива формула

устанавливающая взаимно–однозначное соответствие между классом всех шаровых и сферических функций.

4.4.5. Сферические функции Бесселя, Неймана и Ханкеля. Обратимся теперь к уравнению (4.7) и заменим в нем на n = n(n + 1). Получим

Уравнение (4.44) представляет собой уравнение Бесселя порядка , а его решениями являются цилиндрические функции Бесселя J (z), Неймана N (z) и Ханкеля H(1)(z) (либо H(2)(z)) первого (либо второго) рода. Делая обратную замену переменных, заключаем, что решениями уравнения (4.42) являются следующие функции:

259

называемые соответственно сферическими функциями Бесселя, Неймана и

p

Ханкеля первого и второго рода. (Несущественный множитель =2 перед функциями в (4.45) служит для их нормировки).

Из формул (3.57) при = n + 1=2 и (4.45) (см. также [11, c. 358]) вытекает, что функции h(1)n и h(2)n связаны с функциями jn и yn соотношениями:

h(1)n (kr) = jn(kr) + iyn(kr); h(2)n (kr) = jn(kr) iyn(kr);

аналогичными соответствующим соотношениям для цилиндрических функций Бесселя, Неймана и Ханкеля. Указанная аналогия подсказывает, что функцию jn следует использовать при решении задачи излучения звука внутри ограниченной области, содержащей начало координат. Любую пару функций, входящих в (4.45), можно использовать при решении задачи излучения в ограниченной области типа сферической полости, не содержащей начало координат. Наконец, при решении задачи излучения в неограниченной области типа внешности сферы следует использовать только функцию h(1)n (kr), тогда как при решении задачи о падении приходящей из бесконеч-

ности волны на эту сферу можно использовать только функцию h(2)n (kr). Последнее утверждение является следствием того, что, как легко проверить, используя асимптотические представления цилиндрических функций в дальней зоне, приведенные, например в [37,56], именно функция h(1)n (kr)

удовлетворяет условиям излучения (4.3), тогда как функция h(2)n (kr) удовлетворяет условиям излучения, получающимся из (4.3) заменой знака минус во втором соотношении на плюс.

4.4.6. Решение уравнения Гельмгольца в сферических координатах. Сферические волны. Из изложенных выше результатов следует, что любое частное решение уравнения Гельмгольца в сферических координатах, удовлетворяющее условиям излучения (4.3), представимо в виде

m= n

где amn – произвольные постоянные. По своему физическому смыслу функция (4.46) описывает расходящуюся волну со сферическим фронтом, которую принято называть сферической волной n-го порядка. Каждой такой волне отвечает свой источник, называемый сферическим источником n-го порядка. В частном случае, когда n = 0, указанный источник носит название пульсирующей сферы; при n = 1 получаем осциллирующую сферу, т. е. сферу, гармонически колеблющуюся вдоль фиксированного направления;

260